Enunciado

41 – 50 Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.

48. y = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2

Passo 1

Fala aí, belezinha?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função:

y = x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2

E simplificar o resultando se possível.

E para questões desse tipo, a ideia é sempre observar qual o tipo de função que nós temos e assim definir qual a melhor regra de derivação pra usar.

Então, perceba que nossa função é formada por duas parcelas. Então podemos separar essa derivada para cada um dos termos. Assim:

y ' = d d x x cos - 1 ⁡ x - 1 - x 2

Se torna:

y ' = d d x x cos - 1 ⁡ x - d d x 1 - x 2

Agora podemos olhar para cada uma delas separadamente.

Então faremos:

d d x x cos - 1 ⁡ x

E a regra de derivação aqui será a regra do produto, já que temos x multiplicando cos - 1 ⁡ x .

Já para:

d d x 1 - x 2

Temos uma função dentro da outra, então a regra mais adequada é a regra da cadeia.

Agora já sabemos o que fazer. Então vem comigo que vou te mostrar tudinho no passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com

d d x x cos - 1 ⁡ x

Podemos pensar na função

x ⋅ cos - 1 ⁡ x = u ⋅ v

E a regra do produto nos dirá que sua derivada é dada por:

u ⋅ v ' = u ' v + u v '

Ou seja, precisaremos das funções u e v e suas derivadas.

Sendo:

u = x

u ' = 1

E

v = cos - 1 ⁡ x

Essa derivada é tabelada e seu valor é:

v ' = - 1 1 - x 2

Então:

d d x x cos - 1 ⁡ x = 1 cos - 1 ⁡ x + x - 1 1 - x 2

d d x x cos - 1 ��� x = cos - 1 ⁡ x - x 1 - x 2

Show. Agora vamos para outra derivada.

Passo 3

Para derivarmos 1 - x 2 precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos uma função dentro da outra.

Podemos pensar nela como sendo:

d d x 1 - x 2 1 2

Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada que foi transformada em expoente 1 2 , e a função de dentro é 1 - x 2 , então podemos escrever a equação como sendo:

d d x 1 - x 2 1 2 = 1 - x 2 1 2 ' ⋅ 1 - x 2 '

O que nos dará:

d d x 1 - x 2 1 2 = 1 2 1 - x 2 - 1 2 ⋅ - 2 x

Que pode ser escrito com:

d d x 1 - x 2 1 2 = 1 2 1 - x 2 ⋅ - 2 x

E simplificando ficamos com:

d d x 1 - x 2 1 2 = - x 1 - x 2

Agora, basta encaixar tudo em nossa derivada original.

Passo 4

Nossa derivada era:

y ' = d d x x cos - 1 ⁡ x - d d x 1 - x 2

E vimos que

d d x x cos - 1 ⁡ x = cos - 1 ⁡ x - x 1 - x 2

E

d d x 1 - x 2 = - x 1 - x 2

Então, subistituindo tudo, teremos:

y ' = cos - 1 ⁡ x - x 1 - x 2 + x 1 - x 2

E agora obtemos dois termos simétricos, então podemos cortar e só sobra:

y ' = cos - 1 ⁡ x

E prontinho. Depois de tudo isso, encontramos nossa resposta.

Resposta

y ' = cos - 1 ⁡ x

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