Enunciado

23. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial

x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10 = 0

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10 = 0

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lá do Passo 1:

f x = x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10

Derivando,

f ' x = 6 x 5 - 5 x 4 - 24 x 3 - 2 x + 1

Arrumando as coisas, temos:

x n = x n - 1 - x n - 1 6 - x n - 1 5 - 6 x n - 1 4 - x n - 1 2 + x n - 1 + 10 6 x n - 1 5 - 5 x n - 1 4 - 24 x n - 1 3 - 2 x n - 1 + 1

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:

x 1 = 1,9 ;   x 1 = - 1,2   ; x 1 = 1,2   ;   x 1 = 3

Passo 3

Vamos começar com x 1 = 1 , 2 :

x n = x n - 1 - x n - 1 6 - x n - 1 5 - 6 x n - 1 4 - x n - 1 2 + x n - 1 + 10 6 x n - 1 5 - 5 x n - 1 4 - 24 x n - 1 3 - 2 x n - 1 + 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 1 , 142993

Para achar os próximos o processo é análogo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ 1 , 139308

Para x 4 :

x 4 ≈ 1 , 139293

Para x 5 :

x 5 ≈ 1 , 139293

Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será 1 , 139293

Agora vamos fazer a mesma coisa para x 1 = - 1,2

Para x 2 :

x 2 ≈ - 1 , 220062

Para x 3 :

x 3 ≈ - 1 , 219979

Para x 4 :

x 4 ≈ - 1 , 219979

Como x 3 ≈ x 4 , nossa raiz será - 1 , 219979 .

Repetindo para x 1 = - 1,9 :

Para x 2 :

x 2 ≈ - 1 , 942782

Para x 3 :

x 3 ≈ - 1 , 938283

Para x 4 :

x 4 ≈ - 1 , 938228

Para x 5 :

x 5 ≈ - 1 , 938228

Como x 4 ≈ x 5 , nossa raiz será - 1 , 938228 .

Por último, vamos fazer para o ponto x 1 = 3 :

Para x 2 :

x 2 ≈ 2 , 99

Para x 3 :

x 3 ≈ 2 , 989841

Para x 4 :

x 4 ≈ 2 , 989841

Como x 3 ≈ x 4 , nossa raiz será 2 , 989841 .

Resposta

As raízes aproximadas de seis casas decimais são 2 , 989841 , - 1 , 938228 , - 1 , 219979 e 1 , 139293

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Calcule a diferencial. y = x x + 1
Calcule a diferencial. y = x 2 - 2 x
Calcule a diferencial. y = x 3
Seja y = x 2 + 3 x .a) Calcule a diferencial.b) Calcule o erro que se comete na aproximação de Δ y por d y . Interprete graficamente.
Seja A = l 2 , l0 .a) Calcule a diferencial.b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de Δ A por d A . (Olhe para A = l 2 como a fórmula para o cálculo da área do quadrado de l