Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
23. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial
Passo 1
Nossa equação é a seguinte:
Antes de começar vamos esboçar um gráfico.
Considere a seguinte função:
Passo 2
Agora é só usar aquela formula da teoria:
Lá do Passo 1:
Derivando,
Arrumando as coisas, temos:
Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:
;
Passo 3
Vamos começar com :
Fazendo as contas:
Para achar os próximos o processo é análogo. Logo,
Para :
Para :
Para :
Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será
Agora vamos fazer a mesma coisa para
Para :
Para :
Para :
Como , nossa raiz será .
Repetindo para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Como , nossa raiz será
Por último, vamos fazer para o ponto :
Para :
Para :
Para :
Como , nossa raiz será
Resposta
As raízes aproximadas de seis casas decimais são , , e