Enunciado

Seja A = l 2 , l > 0 .

a) Calcule a diferencial.

b) Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de Δ A por d A . (Olhe para A = l 2 como a fórmula para o cálculo da área do quadrado de lado l .)

Passo 1

  1. Oi, pessoal! Primeiro vamos ter que derivar

A = l 2

Para isso é só fazer a derivada do polinômio. Então a derivada de A em relação a l é dada por:

d A d l = 2 l

Assim, sua diferencial, d A , é dada por:

d A = 2 l   d l

Agora vamos para letra b !

Passo 2

b) A variação de A em uma variação de l de tamanho d l é dada por:

Δ A = l + d l 2 - l 2

Onde, l é o lado do quadrado e d l o tamanho da sua variação.

Ajeitando a equação,

Δ A = l 2 + 2 l   d l + d l 2 - l 2

Δ A = 2 l   d l + d l 2

O problema pede o erro que se comete na aproximação de Δ A por d A . Então vamos calcular essa diferença usando a equação para d A encontrada na letra a.

Δ A - d A = 2 l   d l + d l 2 - 2 l   d l

Δ A - d A = d l 2

Assim, aproximando Δ A por d A , cometemos um erro correspondente ao quadrado da variação de l , ou seja, esse erro é igual à área do quadrado de lado igual ao acréscimo

Resposta

a)

d A = 2 l   d l

b)

Δ A - d A = d l 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O lado de um quadrado é medido com um possível erro percential de ± 1 % . Use diferenciais para estimar o erro percentual da área
Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x x 2 + 1 ; d ex = 2p a r ax = 1 , 9 6
Use a diferencial d y para aproximar ∆ y de acordo com as mudanças de x. y = x 8 x + 1 ; d ex = 3p a r ax = 3,05
O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de ± 1 c m (a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.(b) Estime os erros percentuais nos lados e no volume.
O volume de uma esfera é computado a partir do valor medido de seu raio. Estime o máximo erro percentual possível na medida se o erro percentual no volume deve ser mantido em não mais de ± 3 % ( V = 4