Enunciado

Se f (t) = cos sec t , encontre f ' ' (pi // 6) .

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e irei resolver essa atividade junto com você.

Cada ' elevado em uma função significa a quantidade de vezes que devemos derivar essa função. Neste caso específico temos 2 ' , o que significa que devemos derivar duas vezes essa função.

Após esse procedimento iremos encontrar o valor de 𝑓^(' ') (𝑡) em (𝜋)/(6) .

Passo 2

As derivadas trigonométricas são tabeladas, então para nossa primeira derivada temos:

f ' (t) = - cossec t . co tg t

Agora temos um produto de funções, nessas situações precisamos utilizar a regra do produto para realizar a derivação.

A regra do produto diz:

(𝑑 (𝑢 𝑣))/(𝑑 𝑥) = 𝑢 ((𝑑 𝑣)/(𝑑 𝑥)) + 𝑣 ((𝑑 𝑢)/(𝑑 𝑥))

Chamando de:

𝑢 (𝑡) = cossec t

𝑣 (𝑡) = cotg 𝑡

Derivando:

𝑢^' (𝑡) = - cossec 𝑡 . cotg 𝑡

𝑣^' (𝑡) = - cossec^2 t

Então realizando as substituições de 𝑣 (𝑡) , 𝑣^' (𝑡) , 𝑢 (𝑡) 𝑒 𝑢^' (𝑡) :

f^(' ') (t) = - [ (cossec t) (- cossec^2 t) + ( cotg t ) ( - cossec t . cotg t ) ]

Realizando as multiplicações:

f^(' ') (t) = - [ - cossec^3 t - cossec t . cotg ² t ]

f^(' ') (t) = cossec^3 t + cossec t . cotg ² t

Passo 3

Queremos saber agora qual é o valor dessa derivada segunda quando t = (pi)/(6) :

f^(' ') ((pi)/(6)) = cossec^3 ((pi)/(6)) + cossec ((pi)/(6)) . cotg ² ((pi)/(6))

Lembrando que:

c o s s e c (t) = (1)/(s e n ( t ))

c o t g (t) = (cos ( t ))/(s e n ( t ))

Substituindo:

f^(' ') ((pi)/(6)) = (1)/(se n^3 ((pi)/(6))) + (1)/(s e n ((pi)/(6))) . (cos ² ((pi)/(6)))/(s e n ² ((pi)/(6)))

Sendo assim:

f^(' ') ((pi)/(6)) = (1)/(((1)/(2))^3) + (1)/(((1)/(2))) . (((sqrt(3))/(2))^2)/(((1)/(2))^2) = 8 + 2 . (3)/(4) . (4)/(1) = 8 + 6

f^(' ') ((pi)/(6)) = 14

Resposta

f^(' ') ((pi)/(6)) = 14

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