Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

39. e n + e - n e 2 n - 1

Passo 1

Fala aí, tudo beleza? Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Lembrando que, para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Show de bola?

Então temos que calcular o limite da nossa sequência

lim n → ∞ ⁡ e n + e - n e 2 n - 1

Passo 2

A sequência em questão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ e n + e - n e 2 n - 1

Se dividirmos todos os termos por e n , teremos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ e n e n + e - n e n e 2 n e n - 1 e n = lim n → ∞ ⁡ 1 + e - 2 n e n - 1 e n

Ao dividir por e n , estamos “normalizando” a expressão, o que nos ajuda a focar nos termos exponenciais que crescem ou diminuem mais rapidamente conforme n   aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento desta expressão quando n tende ao infinito:

Para o numerador temos que l i m n → ∞ 1 + e - 2 n = 1 + 0 = 1 .

Para o denominador temos que l i m n → ∞ e n - 1 e n = ∞ .

Sendo assim, teremos um número dividido por algo muito grande. Portanto, nosso limite será 0 ! Dessa forma, a conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = e n + e - n e 2 n - 1   é   c o n v e r g e n t e

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 - 0,2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 1 + n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ln ⁡ n ln ⁡ 2 n