Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

51. a n = a r c   t g ( ln ⁡ n )

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

Então, o que precisamos fazer aqui é o cálculo de:

lim n → ∞ ⁡ a r c   t g ( ln ⁡ n )

Nesse caso, podemos simplificar nossa análise “jogando” o limite para dentro da função arctg. Porém esse processo só pode ser feito com funções contínuas, que não é o caso das sequências. Então aplicaremos o Teorema 3 do nosso livro.

Passo 2

O Teorema 3 nos traz que:

lim x → ∞ ⁡ f x = L   e f n = a n   quando n é um inteiro, então o lim n → ∞ ⁡ a n = L  

Em termos simples: se a função tem um "comportamento final" quando x vai para o infinito, então a versão "discreta" da função (os termos a n ​ para valores inteiros de n ) também deve ter esse mesmo "comportamento final" quando n   vai para o infinito.

Aplicando esse Teorema, teremos:

lim n → ∞ ⁡ a r c   t g ln ⁡ n = lim x → ∞ ⁡ a r c   t g ( ln ⁡ x )

E agora sim podemos ‘’jogar’’ nosso limite para dentro da função a r c   t g   x , já que agora estamos tratando de funções contínuas.

lim x �� ∞ ⁡ a r c   t g ln ⁡ x = arc tg     [    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x     ]                  

Como ln ⁡ x → ∞ com x → ∞ , teremos então a constante:

arc tg    [    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x     ]     = ⁡ a r c   t g ∞ = π 2

A função arco tangente ou a r c   t g x é a função inversa da tangente. Em palavras simples, ela nos dá o ângulo cuja tangente é igual a um determinado valor.

Quando estamos falando do arctg de , estamos buscando o ângulo cuja tangente é infinita.

Sabemos que a medida que x se aproxima do infinito, o valor de a r c   t g ( x ) se aproxima cada vez mais de π 2 , que é o valor do ângulo cuja tangente é infinitamente grande e positiva.

Passo 3

Podemos agora pelo Teorema 3 voltarmos para nossa forma de sequência:

arc tg    [    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x     ] = lim n → ∞ ⁡ a r c   t g ln ⁡ n            

Então por fim temos que:

lim n → ∞ ⁡ a r c   t g ln ⁡ n = π 2

Resposta

a n = a r c   t g ln ⁡ n   é convergente pois seu limite existe.

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