Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   ln ⁡ n ln ⁡ 2 n

A estratégia que podemos abordar aqui é simplificar a sequência, para diminuirmos o número de termos com logaritmo natural que teremos que lidar. Faremos isso no passo 2.

Passo 2

Bom, podemos “fazer aparecer” o termo ln ⁡ n   também no denominador utilizando a propriedade do logaritmo, que também se estende ao logaritmo natural l n :

log a ⁡ b . c = log a ⁡ b + log a ⁡ c

Então, temos:

l i m n → ∞   ln ⁡ n ln ⁡ 2 n = l i m n → ∞   ln ⁡ n ln ⁡ 2 + ln ⁡ n

Agora, podemos dividir o denominador e o numerador por ln ⁡ n para simplificar a expressão.

l i m n → ∞ ln ⁡ n ln ⁡ n ln ⁡ 2 ln ⁡ n + ln ⁡ n ln ⁡ n   = l i m n → ∞ 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ n + 1

Passo 3

Precisamos agora resolver o limite. Podemos então analisar com mais facilidade o comportamento da sequência quando n → ∞ : a fração ln ⁡ 2 ln ⁡ n assume valores cada vez menores e mais próximos de zero. Sendo assim, teremos:

l i m n → ∞ 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ n + 1 = 1 0 + 1 = 1

Resposta

Sequência convergente pois o limite da sequência existe e é:

l i m n → ∞   a n = 1

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