Enunciado

25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

25- f ´ x = x 2 ( x 3 - 5 )

Passo 1

Gente, a primeira coisa que temos que lembrar aqui são as características de um ponto crítico. Para x 0 , por exemplo, ser um ponto crítico, ou f ´ x 0 = 0 ou f não é diferenciável em x 0 .

Como o exercício já nos deu a primeira derivada, só precisamos igualar ela a zero. Então vamos lá!

Passo 2

f ´ x = 0

x 2 x 3 - 5 = 0

x = 0

Ou

x 3 = 5

x = 5 3

Passo 3

Galera, agora, nós temos que ver o comportamento de f ´ ( x ) nos seguintes intervalos:

- x < 0 , 0 < x < 5 3 , x > 5 3 .

Nós podemos ver isso testando alguns valores na função.

Para x < 0 :

f ´ - 1 = - 6

Para 0 < x < 5 3 :

f ´ 1 = - 4

Para x > 5 3 :

f ´ 2 = 12

Dessa forma,

Mas afinal o que isso quer dizer ???

Como f ´ ( x ) tem o mesmo sinal à direita e à esquerda de x = 0 , f não tem um extremo relativo no zero.

Como f ´ x < 0 à esquerda de x = 5 3 e f ´ x > 0 à direita desse mesmo ponto, f tem um mínimo relativo em x = 5 3 .

Resposta

0 (nenhum dos dois), 5 3 (mínimo)

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