Enunciado

25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

30. f ' x =   x 4 e x - 3

Passo 1

Galera, vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico da nossa função:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Note que a nossa função não possui nenhuma fração, raiz..... nenhum problema de definição. Isso quer dizer que ela é diferenciável para todo x .

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

x 4 e x - 3 = 0

x 4 = 0

x = 0

ou

e x - 3 = 0

e x = 3

x = l n 3

Passo 3

Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da primeira derivada. Para isso, a gente vai precisar estudar o sinal da nossa função antes e depois dos nossos pontos críticos. Eu acho que isso vai ficar mais fácil com o auxílio de uma tabela. Então, bora lá.

Mas você deve estar aí se perguntando: ‘Caramba, como eu vou saber o comportamento dessas funções estranhas?’ Calma aeeeee. Vem comigo que vai dar certo.

Primeiro vamos analisar o x 4 . A primeira coisa que deve estar passando pela sua cabeça é que se parece com a função de segundo grau y = x 2 . Posso dizer uma coisa ??? Você está coberto de razão. O gráfico dessa função se parece muito com uma parábola ‘achatada’. Isso porque, para valores muito pequenos, o resultado é muito próximo de zero. Já para x   muito grande, ela assume valores maiores que os de y = x 2 . Por isso, ela cresce mais rapidamente do que a nossa função quadrática e está mais próxima do eixo y . Então, se a função y = x 2 é positiva em todo o seu domínio, x 4 também vai ser, pois o seu expoente também é par.

Uma já foi. Ufa!!!! E nem foi tão difícil, viu?! No caso de e x - 3 , perceba que se trata de uma função exponencial crescente, pois e > 1 , deslocada três unidades para baixo sobre o eixo y .

Tá complicado visualizar? Então olha só:

Ela é negativa antes de l n 3 e positiva depois.

Passo 4

Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da primeira derivada. Para isso, a gente vai precisar estudar o sinal da nossa função antes e depois dos nossos pontos críticos. Eu acho que isso vai ficar mais fácil com o auxílio de uma tabela. Então, bora lá.

Passo 5

Agora que já montamos a nossa tabela, é só analisar os dados obtidos. Vem comigo!!!

Como à esquerda de   0   é negativo e à direita também,   0 não é extremo relativo. Já no caso do   l n 3 , à sua esquerda é negativo e à sua direita é positivo. Portanto, ele é mínimo relativo.

Resposta

0 : não é extremo relativo;

l n 3 : mínimo relativo.

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