Enunciado

33-36 Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda.

36. f x = x - 3 e x

Passo 1

Vamos lembrar que, para usar o teste da segunda derivada, a primeira coisa a fazer é encontrar os pontos críticos da nossa função. E sabemos que para x 0 ser ponto crítico deve satisfazer, pelo menos, uma das seguintes condições:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Note que a nossa função não possui nenhuma fração, raiz..... nenhum problema de definição. Isso quer dizer que ela é diferenciável para todo x .

Passo 2

Agora, vamos derivar a nossa função e igualá-la a zero. Assim, vamos ter

f x = e x x - 3 e x

f ' x = e x x + e x - 3 e x

e x x + 1 - 3 = 0

Como e x é sempre diferente de zero para todo   x ∈ R , podemos dividir os dois lados da equação por esse termo. Assim, ficamos com

x - 2 = 0

x = 2

Passo 3

Bem, o próximo passo é derivar mais vez a nossa função.

Daí, vamos obter

f " ( x ) = e x x + 2 e x - 3 e x

f " ( x ) = e x x - e x

Passo 4

Olha só, vamos substituir o ponto crítico que encontramos em f " ( x ) .

f " ( 2 ) = 2 e 2 - e 2 = e 2 > 0

Assim, vemos que f tem um mínimo relativo em x = 2 . Substituindo na f ,

f 2 = 2 - 3 e 2 = - e 2

obtemos o ponto de coordenada

( e 2 , - e 2 )

Resposta

( e 2 , - e 2 )

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