Enunciado

25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

29- f ´ x = x e 1 - x 2

Passo 1

Gente, a primeira coisa que temos que lembrar aqui são as características de um ponto crítico. Para x 0 , por exemplo, ser um ponto crítico, ou f ´ x 0 = 0 ou f não é diferenciável em x 0 .

Como o exercício já nos deu a primeira derivada, só precisamos igualar ela a zero. Então vamos lá!

Passo 2

Galera, essa é muito tranqüila, pois o único ponto crítico que temos é x = 0 . Mas por que ???

Pois se tentarmos zerar o expoente teremos isso:

1 - x 2 = 0

x = ± 1

-Para x = + 1 , temos:

f ´ x = 1

-Para x = - 1 , temos:

f ´ x = - 1

Ou seja, zerar o expoente não faz com que f ´ x = 0 . Entenderam ???

Passo 3

Galerissss, agora, nós temos que ver o comportamento de f ´ ( x ) nos seguintes intervalos:

- x < 0 , x > 0 .

Nós podemos ver isso testando alguns valores na função.

Para x < 0 :

f ´ - 1 = - 1

Para x > 0 :

f ´ 1 = 1

Dessa forma,

Mas afinal o que isso quer dizer ???

Como f ´ x < 0 à esquerda de x = 0 e f ´ x > 0 à direita desse mesmo ponto, f tem um mínimo relativo em x = 0 .

Resposta

0 (mínimo)

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