Enunciado

25.Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide.

x = cos 3 ⁡ t y = sin 3 ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π  

No ponto P - 1 8 , 3 3 8 .

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente, ela não tem bem a forma convencional, mas não é nada difícil! Apenas requer atenção e que você lembre da fórmula da derivada de função implícita que é essa aqui:

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t )

E essa derivada é o coeficiente angular da reta tangente, que tem uma equação dessa forma aqui:

y - y o = m x - x o

Para a reta normal, temos

y - y o = - 1 m x - x o

Passo 2

y ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

y ' = sin 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a regra da cadeia

u v t = sin 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = sin ⁡ t                   v ' t = cos ⁡ t

Agora vamos derivar

y ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

y ' = u v t ' = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t

x ´ ( t ) é a derivada de y , porém em t ,   ou seja temos que derivar essa expressão aqui de baixo:

x ' = cos 3 ⁡ t '

Para fazermos essa derivada usaremos a mesma regra de cima, a regra de cadeia!!!

u v t = cos 3 ⁡ t

u t = t 3                   u ' t = 3 t 2

v t = cos ⁡ t                   v ' t = - sin ⁡ t

Agora vamos derivar

x ' = u v t ' = u ' v t v ' ( t )

x ' = u v t ' = 3 cos 2 ⁡ t - sin ⁡ t = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Passo 3

Agora vamos voltar para a fórmula que te falei lá no passo 1!!

y ' = d y d x = y ´ ( t ) x ´ ( t ) = 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t

Cortando o produto 3 sin ⁡ t cos ⁡ t no denominador e no numerador, podemos cortar, pois para o ponto - 1 8 , 3 3 8 nem o sin ⁡ t nem o cos ⁡ t são nulos.

y ' = - sin ⁡ t cos ⁡ t = - tan ⁡ t

Vamos descobrir a expressão   tan ⁡ t .

- 1 8 = cos 3 ⁡ t

E

3 3 8 = s i n 3 t

Ajeitando essa expressão, temos:

cos ⁡ t = - 1 2

sin ⁡ t = 3 2

Então

tan ⁡ t = 3 2 - 1 2 = - 3

m = y ' = - tan ⁡ t = 3

Substituindo na expressão da reta tangente, temos:

y - 3 3 8 = 3 x + 1 8

y - 3 3 8 = 3 x + 3 8

y - 3 x - 4 3 8 = 0

y - 3 x - 3 2 = 0

2 y - 2 3 x - 3 = 0

2 3 x - 2 y + 3 = 0

Agora para a reta normal, temos:

y - 3 3 8 = - 1 3 x - 1 8

3 y - 9 8 = - x - 1 8

3 y + x - 8 8 = 0

3 y + x - 1 = 0

Resposta

2 3 x - 2 y + 3 = 0 ;   3 y + x - 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se existe ou não f ' ( 0 ) . f x = x 2 . s e n 1 x , s ex ≠ 0 x , s ex = 0
23.Calcular a derivada y ´ = d y d x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t , y ´ está definida? d ) x = 8 cos 3 ⁡ t y = 8 sin 3 ⁡ t ,t ∈ 0 , π
24.Determinar a equação da reta tangente à elipse x = 2 cos ⁡ t y = 3 sin ⁡ t ,t ∈ 0 , 2 π No ponto P 2 , 3 2 2
23.Calcular a derivada y ´ = d y d x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t , y ´ está definida? e ) x = 2 t - 1 y = t 3 + 5 ,- ∞t+ ∞