Enunciado

Determine se existe ou não f ' ( 0 ) .

f x = x 2 . s e n 1 x ,     s e   x ≠ 0 x ,     s e   x = 0

Passo 1

E aí, preparados para mais um exercício?

Esse aqui é sobre a existência da derivada em um ponto!

Para saber se a derivada em um ponto a existe, devemos usar a definição de derivada que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Se esse nosso limite existir para a = 0 , então a nossa derivada f ' ( 0 ) vai existir, beleza??

A questão aqui é como calcular esse limite, temos que prestar atenção que nossa função é composta por duas equações, e isso deve ser levado em consideração.

Como estamos trabalhando com a função sin ⁡ x , que é uma função limitada:

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Podemos utilizar, com as manipulações algébricas apropriadas, o Teorema do confronto.

o Teorema do confronto diz que:

Se tivermos 3 funções h x ,   f x ,   g ( x ) tal que:

h x ≤ f x ≤ g x

e

lim x → a ⁡ h ( x ) = L

lim x → a ⁡ g ( x ) = L

Então podemos dizer que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

E é isso que iremos utilizar aqui.

Passo 2

Se a = 0 , então

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

Perceba que a função que nos é dada tem como domínio todos os valores reais: ela é definida por

x 2   .   s e n 1 x para x ≠ 0 e vale 0 para x = 0

A partir disso, sabemos já que f 0 = 0 e o nosso

f 0 + h = 0 + h 2 ∙   s e n 1 0 + h

Substituindo esses valores na nossa expressão, iremos ficar com isso aqui:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 0 + h 2 ∙   s e n 1 0 + h - 0 h

Realizando as simplificações:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 2 ∙   s e n 1 h h

Agora simplificando o h :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ h ∙   s e n 1 h

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Agora que já temos uma expressão para o nosso limite, temos que analisá-lo e ver se é possível resolvê-lo. Acontece que o limite de s e n 1 h quando o h tende a zero não existe, e aí a gente vai ter que usar algum artifício para contornar esse problema!

Para dar um jeito nisso aqui, vamos trabalhar com o teorema do confronto, que foi comentado no nosso passo 1!

Beleza até aqui? Dá uma olhada com calma nesse teorema que a gente vai usar agora!

A gente tem que começar pensando que, com o limite que estamos trabalhando, temos duas funções:

f 1 h = s e n 1 h

e outra

f 2 h = h

Multiplicando as duas, vamos ter a nossa expressão que é h   .   s e n 1 h , tranquilo até aqui?

A função seno é limitada entre 1 e - 1 , essa é uma propriedade dela, fechou? Logo, teremos que:

- 1 ≤ s e n 1 h ≤ 1

Se a gente multiplicar tudo por h , vamos ter:

- h ≤ h ∙ s e n 1 h ≤ h

Ooooopa! Ficou no mesmo formato do teorema do confronto, percebeu?

Temos uma função ali no meio (que é a nossa) limitada por duas outras funções.

Veja só! 😉

Passo 4

Temos agora que encontrar

l i m h → 0 ( - h )

e o

l i m h → 0 h

Esses limites aqui não têm muito mistério: ambos vão ser iguais a zero, beleza? Ou seja:

l i m h → 0 - h = l i m h → 0 h = 0

Para ajudar a dar uma visualizada, vou pegar essa expressão aqui:

- h ≤ h ∙ s e n 1 h ≤ h

E aplicar o limite com h tendendo a 0 nela inteira! Saca só:

l i m h → 0 ( - h ) ≤ l i m h → 0 h ∙ s e n 1 h ≤ l i m h → 0 ( h )

Substituindo os valores dos limites nas extremidades:

0 ≤ l i m h → 0 h ∙ s e n 1 h ≤ 0

Ora, se a função é maior ou igual à 0 e menor ou igual à 0 , ela só pode valer 0 , entendeu? Ou seja, teremos que:

f ' 0 = l i m h → 0 h ∙ s e n 1 h = 0

Pronto, esse exercício aqui foi detonado ;)

O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' ( 0 ) para a função dada existe e vale 0 .

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