Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

26. A massa total de uma barra com L m de comprimento é M kg e a medida da densidade linear num ponto a x m do extremo esquerdo é proporcional a medida da distância do ponto ao extremo direito. Mostre que a densidade linear em um ponto da barra a x m do extremo esquerdo é 2 M L - x L 2 kg/m.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade é proporcional a distância do ponto ao extremo direito, distância essa que pode ser escrita como sendo ( L - x ) onde L é o comprimento da barra e x é onde está localizado o ponto qualquer. Dessa forma temos a seguinte densidade:

ρ x = k ( l - x )

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

Agora que conhecemos o formato da densidade basta acharmos a constante K. para isso usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 L k l - x d x

M t = k 2 l - x 2 | L 0

M t = k l 2 2

Agora que temos a massa total podemos parrar ao próximo passo

Passo 3

Sabemos que a massa da barra é M kg/m, porém encontramos no passo anterior a massa total também, para que seja verdade a expressão para densidade dita no enunciado do exercício, as duas massas tem que ser iguais, portanto:

k l 2 2 = M

k l 2 = 2 M

k = 2 M l 2

Agora que encotramos o valor de k basta substitui-lo da expressão da densidade encotrada no passo 1. Por fim temos a seguinte densidade:

ρ x = 2 M l 2 ( L - x )  

Resposta

Com k = 2 M l 2 temos a densidade ρ x = 2 M l 2 ( L - x ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquela
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x
Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x ,     0