Enunciado

Ache a massa total e o centro de massa.

21. A medida da densidade linear em um ponto de uma barra varia diretamente com a terceira potência da medida da distância do ponto a um extremo. O comprimento da barra é 4 m e a densidade linear no centro é de 2 kg/m.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade varia com a terceira potência da distância, ou seja, ela pode ser escrita da seguinte forma:

ρ x = k x 3

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

Para encontrar a função que descreve a densidade precisamos descobrir qual o valor da constante k . Para isso o exercício nos fornece as seguinte informação:

  1. A densidade linear no centro da barra é 2 kg/m, ou seja , ρ 2 = 2 . Com isso podemos descobrir a contante.

2 = k 2 3

k = 2 8 = 1 4

Agora basta substituir k na função e obtemos o comportamento da densidade linear:

ρ x = 1 4 x 3

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 4 1 4 x 3 d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = 1 4 x 4 4 | 4 0  

M t = [ 4 4 16 ]

M t = 16   k g

Achamos então a massa total da barra.

Resposta

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = 1 4 ∫ 0 4 x ( x 3 ) d x 16

x - = 1 4 ∫ 0 4 ( x 4 ) d x 16

x - = 1 4 x 5 5 | 0 4 16

x - = 1 20 4 5 16

x - = 16 5 m

Resposta

Massa total: 16 kg

Centro de massa: 16 5 m

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