28.Se f(x) = x^2 - 2x + 1 , encontre uma função g(x) para os quais (f/g)(x) = x - 1 .

Passo 1

Teremos que fatorar x 2 - 2 x + 1 , sempre que tivemos fatorar uma função do 2 grau usaremos a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

( f / g ) ( x ) = x - 1

( f / g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = x - 1

Substituindo f ( x ) por x 2 - 2 x + 1 .

x 2 - 2 x + 1 g ( x ) = x - 1

g ( x ) = x 2 - 2 x + 1 x - 1

Pelo jeito, g ( x ) já terá uma restrição!! Já que não podemos ter 0 no denominador, podemos afirmar que para g ( x ) existir, x ≠ 1 !

Se fôssemos falar de domínio, teríamos que o D o m ( g ) = R - 1 .

Passo 3

Vamos fatorar a função x 2 - 2 x + 1 , para isso acharemos as raízes e colocaremos na fórmula canônica:

x 2 - 2 x + 1 = x - r 1 ( x - r 2 )

Em que r 1 e r 2 são as raízes da função!

x 2 - 2 x + 1

  a = 1   b = - 2   c = 1

∆ = b 2 - 4 a c = - 2 2 - 4 1 1 = 4 - 4 = 0

Então as raízes são iguais!

r 1 = r 2 = - b 2 a = 2 2 = 1

Voltando para a forma canônica, temos:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 ( x - 1 )

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

Lembrando de onde paramos:

g ( x ) = x 2 - 2 x + 1 x - 1 = x - 1 2 x - 1

Podemos cortar no denominador (parte de baixo) e numerador (parte de cima), desde que não tenhamos zero no denominador!

Então, para x ≠ 1 , temos:

g ( x ) = x - 1

Resposta

g ( x ) = x - 1

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