Enunciado

30. Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema mola-massa amortecido, é a equação de Liénard

d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0

Se c ( x ) for uma constante e g ( x )   =   k x , então essa equação terá a forma da equação linear do pêndulo [substitua s e n θ por θ na Eq. (12) da Seção 9.2]; caso contrário, o amortecimento c ( x ) d x / d t e a força restauradora g ( x ) serão não lineares. Suponha que   c é continuamente diferenciável, que g   é duas vezes continuamente diferenciável e que g ( 0 )   =   0 .

(a) Escreva a equação de Liénard como um sistema de duas equações de primeira ordem introduzindo a variável y   =   d x / d t .

(b) Mostre que ( 0 ,   0 ) é um ponto crítico e que o sistema é localmente linear em uma vizinhança de ( 0 ,   0 ) .

(c) Mostre que, se c ( 0 )   >   0 e g ' ( 0 )   >   0 , então o ponto crítico será assintoticamente estável, e, se c ( 0 )   <   0 ou se g ' ( 0 )   <   0 , então o ponto crítico será instável.

Sugestão: Use a série de Taylor para aproximar c e g em uma vizinhança de x   =   0 .

Passo 1

L e t r a   A :

Aqui não tem muitos mistérios, basta pegar a informação de substituição que ele nos deu...

y   = d x d t

E substituir na equação de segunda ordem:

d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0   →

y ' + c x y + g x = 0       →

Jogando tudo que envolve x por um lado...

y ' = - c x y - g x

Prontinho! Temos o nosso sistema de EDO’s de primeira ordem:

x ' = y

y ' = - c x y - g x

Ou, em notação de matrizes...

x ' y ' = 0 1 0 - c x 0 y + 0 g x

Passo 2

L e t r a   B :

Um ponto 0 ,   0 será crítico se as derivadas nele forma nulas:

0 = y

0 = - c x y - g x

Em outras palavras...

y = 0  

- c 0 y + g 0 = 0   →

g 0 = 0

Então de fato x = 0     e       y = 0 formam um ponto crítico da nossa EDO:

0 ,   0     →         P o n t o   c r í t i c o

Passo 3

Para verificar a condição de que o sistema é localmente linear em 0 ,   0 , consideremos o sistema:

x ' y ' = 0 1 0 - c x 0 y + 0 g x

De acordo com a teoria, podemos calcular o limite para verificar se ele é ou não:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ 0 g x / x ,   y

Onde 0 g x é o módulo desse vetor, dado por Pitágoras das coordenadas, saca? (o mesmo sobre x ,   y )...

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ 0 2 + g 2 x x 2 + y 2     →

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ g x x 2 + y 2     →

Como g 0 = 0 , quando x ,   y vai para a origem, então se pode afirmar que:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ g x x 2 + y 2 = 0

Então de fato é verdade que o sistema é localmente linear ao redor de 0 ,   0 .

Passo 4

L e t r a   C :

Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são F e G :

x ' = y             →         F x ,   y = y

y ' = - c x y - g x                 →         G x ,   y = - c x y - g x

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = 0 1 - c ' x y - g ' x - c x       →

Substituindo o ponto 0 ,   0 ...

J 0 ,   0 = 0 1 - g ' 0 - c 0

Então o sistema localmente linear será...

x ' y ' = 0 1 - g ' 0 - c 0 x y

Passo 5

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

A = 0 1 - g ' 0 - c 0     →

Então...

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ - λ 1 - g ' 0 - c 0 - λ = 0   →

- λ - c 0 - λ + g ' 0 = 0   →

λ 2 + λ c 0 + g ' 0 = 0   →

Resolvendo essa equação do segundo grau...

λ = - c 0 2 ± c 0 2 - 4 g ' 0 2

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE c 0 > 0 E g ' 0 > 0 :

Se isso acontece, a primeira conclusão que podemos tirar é de que...

c 0 > 0           →         - c 0 2 < 0

Além disso, para a estabilidade temos que avaliar a raiz também:

c 0 2 - 4 g ' 0  

Se c 0 > 0 e g ' 0 > 0 então é verdade que essa raiz é menor que c 0 , e portanto somando ou subtraindo a - c 0 2 vai gerar dois valores negativos para λ :

λ 1 < λ 2 < 0

Isso na nossa tabelinha 9.3.1 significa que de fato teremos uma estabilidade assintótica!

AGORA VEJAMOS O OUTRO CASO, c 0 < 0 E g ' 0 < 0 :

Esse caso é parecido, afinal se c 0 < 0 , então - c 0 2 será maior que 0 . Agora vejamos a raiz:

c 0 2 - 4 g ' 0 2

Se tanto c 0 quando g ' 0 são negativos, podemos afirmar que o valor de dentro dessa raiz será positivo e maior que c 0 2 , ou seja, podemos garantir que:

c 0 2 - 4 g ' 0 2 > - c 0 2

Logo, como em λ envolve um ± :

λ = - c 0 2 ± c 0 2 - 4 g ' 0 2

Os resultados aqui só podem ser um positivo e outro negativo:

λ 1 < 0 < λ 2

O que provoca instabilidade no sistema!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe retratos de fase para o sistema para valores selecionados de α para confirmar suas conclusões.
Determine os pontos de bifurcação.
Encontre os pontos críticos.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.
Encontre os pontos críticos.