Enunciado

Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere o sistema

x ' = 0 1 - 1 0 x

Mostre que os autovalores são ± i , de modo que (0, 0) é um centro. Considere agora o sistema

x ' = ϵ 1 - 1 ϵ x

em que | ∊ | é arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores são ∊   ±   i . Assim, independente do quão pequeno for | ∊ |   ≠   0 , o centro torna-se um ponto espiral. Se ∊   <   0 , o ponto espiral será assintoticamente estável; se ∊ > 0, o ponto espiral será instável.

Passo 1

Encontrando então os autovalores da matriz de coeficientes...

A = 0 1 - 1 0     →

det ⁡ A - r I = 0     →

Onde r é justamente o autovalor. Então...

det ⁡ - r 1 - 1 - r = 0     →

r 2 + 1 = 0     →

Resolvendo em r

r = ± - 1

Como - 1 é i , a unidade imaginária, então...

r = ± i

Provando que de fato 0 ,   0 é um ponto crítico.

Passo 2

Repetindo então os cálculos, mas dessa vez considerando a matriz de coeficientes:

ϵ 1 - 1 ϵ

Então...

det ⁡ ϵ - r 1 - 1 ϵ - r = 0   →

ϵ - r 2 + 1 = 0     →

ϵ - r = ± i     →

r = ϵ ± i

Então de fato, não importando o valor de ϵ , o retrato de fase do problema muda de elipses concêntricas para espirrais. Convergente se ϵ for negativo e divergente (Instável) se ϵ for positivo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos críticos.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.
Determine os pontos de bifurcação.
Encontre a matriz jacobiana J e calcule-a em cada um dos pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.