Enunciado

30. Mostre que é possível representar por um número a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é y = 1 / x , pela reta x = 1 e pelos eixos x e y ; mas que não é possível representar por um número finito o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x.

Passo 1

Para mostrar que a área da região limitada pela curva e pelas retas dadas pode ser representada por um número, devemos mostrar que a integral que nos fornece a área de uma região converge para um número, que será o valor da área.

Já com relação ao volume do sólido obtido por revolução, basta mostrar que a integral que nos fornece o volume do sólido em questão diverge.

Passo 2

Assim, a área da região pode ser obtida da seguinte forma:

A = ∫ a b f x d x = ∫ 0 1 1 / x d x = 2 x 1 2 0 1 = 2

Logo, como a integral que representa a área é convergente, a medida da área pode ser representada por um número.

Passo 3

Assim, o volume da região pode ser obtida da seguinte forma:

V = ∫ a b π f x 2 d x = π ∫ 0 1 1 x d x = π . l i m t → 0 + ∫ t 1 1 x d x = π . l i m t → 0 + ln ⁡ x t 1 = - π . l i m t → 0 + ln ⁡ t =

= ∞

Logo, como a integral que representa o volume do sólido é divergente, não é possível representar por um número finito o volume do sólido.

Resposta

Demonstração.

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