Enunciado

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x

Para quais valores de p a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de p .

Passo 1

Incialmente analisaremos a integral impropria. Para isso é importante lembrar que

l n ⁡ | x |

Ou seja, precisamos avaliar quando x > 0 e quando x ≤ 0 . Sendo assim, separaremos nosso intervalo de integração em dois, ou seja,

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x = ∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x + ∫ 0 ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Analisando,

∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x

Veremos que

∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x = ∫ - ∞ - e     x p l n ⁡ ( - x ) d x + ∫ - e 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x

Para calcularmos as integrais improprias acima, precisaremos chamar b = 0 , para assim tomarmos o limite de b → 0 e chamaremos c = - ∞ , para assim tomarmos o limite de c → - ∞ . Sendo assim,

∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x = l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p l n ⁡ ( - x ) d x + l i m b → 0 ∫ - e b     x p l n ⁡ ( - x ) d x

Utilizando integração por partes, suponha

u = ln ⁡ - x ⇒ d u = 1 - x - 1 d x ⇒ d u = 1 x d x ,

d v = x p ⇒ v = x p + 1 p + 1

Sendo assim,

∫ - e b u   d v = ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - ∫ - e b x p + 1 p + 1 . 1 x d x = ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b -   ∫ - e b x p p + 1 d x

= ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b -   1 p + 1 ∫ e b x p   d x = ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ - e b

= ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - 1 p + 1 x p + 1 p + 1 ​ - e b = ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - x p + 1 p + 1 2 ​ - e b

Logo,

l i m b → 0 ∫ - e b     x p l n ⁡ ( - x ) d x = l i m b → 0     ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - x p + 1 p + 1 2 ​ - e b

De maneira análoga encontraremos que

l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p l n ⁡ ( - x ) d x = l i m c → - ∞   ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ c - e - x p + 1 p + 1 2 ​ c - e

Passo 3

Perceba que,

l i m b → 0 ∫ - e b   x p ln ⁡ x d x = l i m b → 0 ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - x p + 1 p + 1 2 ​ - e b = l i m b → 0 ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ - e b - l i m b → 0 x p + 1 p + 1 2 ​ - e b

= l i m b → 0 ln ⁡ - b ( b ) p + 1 p + 1 - ln ⁡ - ( - e ) ( - e ) p + 1 p + 1 - l i m b → 0 ( b ) p + 1 p + 1 2 - ( - e ) p + 1 p + 1 2

= lim b → 0 ln ⁡ - b b p + 1 p + 1 - l i m b → 0 ln ⁡ e - e p + 1 p + 1 - l i m b → 0 b p + 1 p + 1 2 - lim b → 0 ⁡ ( - e ) p + 1 p + 1 2

Precisamos agora, analisar os valores que p   deve assumir, para que a integral seja convergente.

Analisando o limite que está dando problema teremos

l i m b → 0 ln ⁡ - b ( b ) p + 1 p + 1 = 1 p + 1 l i m b → 0 ln ⁡ b b p + 1

Perceba que quando p > - 1 teremos que o limite será da forma:

l i m b → 0 ln ⁡ - b b p + 1 = lim b → 0 ln ⁡ b b p + 1 = ∞ . 0

Reescrevendo a função,

ln ⁡ - b b p + 1 = ln ⁡ - b 1 b p + 1

l i m b → 0 ln ⁡ - b b p + 1 = l i m b → 0 ln ⁡ - b 1 b p + 1 = ln ⁡ 0 1 ( 0 ) p + 1 = ∞ 1 0 = ∞ ∞

Sendo assim podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

1 - b . ( - 1 ) ( p + 1 ) x p b p + 1 2 = 1 b ( p + 1 ) x p b 2 p + 2 = 1 b ( p + 1 ) b p + 2 = 1 b ( b ) p + 2 ( p + 1 ) = ( b ) p + 1 ( p + 1 )

Daí,

l i m b → 0 b p + 1 ( p + 1 ) = ( 0 ) p + 1 ( p + 1 ) = 0 ( p + 1 ) = 0

Logo,

l i m b → 0 ln ⁡ - b b p + 1 = 0

Portanto, é convergente para p > 1

l i m b → 0 ∫ - e b     x p l n ⁡ ( - x ) d x = lim b → 0 ln ⁡ - b b p + 1 p + 1 - l i m b → 0 ln ⁡ e - e p + 1 p + 1 - l i m b → 0 b p + 1 p + 1 2 - lim b → 0 ⁡ ( - e ) p + 1 p + 1 2

= 0 - ln ⁡ e - e p + 1 p + 1 - 0   - ( - e ) p + 1 p + 1 2

Passo 4

Perceba que,

l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p l n ⁡ ( - x ) d x = l i m c → - ∞   ln ⁡ - x x p + 1 p + 1 ​ c - e - x p + 1 p + 1 2 ​ c - e

= l i m c → - ∞ ln ⁡ - ( - e ( - e ) p + 1 p + 1 - ln ⁡ - c c p + 1 p + 1 - l i m c → - ∞ ( - e ) p + 1 p + 1 2 - ( c ) p + 1 p + 1 2

= l i m c → - ∞ ln ⁡ e ( - e ) p + 1 p + 1 - l i m c → - ∞ ln ⁡ - c ( c ) p + 1 p + 1 - l i m c → - ∞ ( - e ) p + 1 p + 1 2 - l i m c → - ∞ ( c ) p + 1 p + 1 2

Desejamos encontrar um valor de p , de maneira que l i m c → - ∞ ln ⁡ - c ( c ) p + 1 exista. Sendo assim, perceberemos que para p < - 1 , teremos,

1 p + 1 l i m c → - ∞ ln ⁡ - c ( c ) p + 1 = 1 p + 1 l i m c → - ∞ l n ⁡ ( - c ) ( c ) - ( p + 1 ) = 1 p + 1 ∞ ∞ = ∞ ∞

Isso acontece, pois como p < - 1 ⇒ p + 1 < 0 então a potência vai para o denominador com o expoente positivo.

Chegamos numa indeterminação do tipo ∞ ∞ . Com isso, podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

l i m c → - ∞ 1 - c . ( - 1 ) - p + 1 c - p = l i m c → - ∞ 1 c - p + 1 c - p = l i m c → - ∞ 1 c 1 - p + 1 c - p

= l i m c → - ∞ 1 - p + 1 c - p + 1 = 0

Já quando olhamos para o outro limite e supomos que p < - 1 obtemos também que

l i m c → - ∞ ( c ) p + 1 p + 1 2 = l i m c → - ∞ 1 ( c ) p + 1 p + 1 2 = 0

Portanto,

l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p ln ⁡ - x d x

= l i m c → - ∞ ln ⁡ e ( - e ) p + 1 p + 1 - l i m c → - ∞ ln ⁡ - c ( - c ) p + 1 p + 1 - l i m c → - ∞ - e p + 1 p + 1 2 - l i m c → - ∞ c p + 1 p + 1 2

= ln ⁡ e ( - e ) p + 1 p + 1 - 0 - - e p + 1 p + 1 2 - 0

= ln ⁡ e ( - e ) p + 1 p + 1 - - e p + 1 p + 1 2

Portanto,

l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p ln ⁡ - x d x

Converge para p < - 1 e quando isso acontece,

l i m c → - ∞ ∫ c - e     x p ln ⁡ - x d x = ln ⁡ e ( - e ) p + 1 p + 1 - - e p + 1 p + 1 2

Passo 5

Perceba que na integral que queremos analisar,

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x = ∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x + ∫ 0 ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

precisamos estabelecer quais valores p fazem com que aquelas duas integrais sejam convergentes simultaneamente. Porém, ao analisarmos cada uma vimos que para o intervalo de - ∞ ≤ x ≤ - e   , p < - 1   , já no intervalo - e ≤ x ≤ 0 ,   p > - 1 , isso significa que não como estabelecermos valores para p de maneira que as duas integrais sejam convergentes ao mesmo tempo.

Logo,

∫ - ∞ 0   x p l n ⁡ | x | d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

Passo 6

Relembrando o exercício 80, saberemos que

∫ 0 ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

Como,

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x = ∫ - ∞ 0     x p l n ⁡ ( - x ) d x + ∫ 0 ∞     x p l n ⁡ ( x ) d x

E ambas as integrais divergem independentemente do valor que p   assumir.

Portanto,

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

Plotando o gráfico de f ( x ) ,

Para x = 0

Para x = - 7 5

Para x = 2

Para x = 11

Resposta

∫ - ∞ ∞   x p l n ⁡ | x | d x

Diverge independentemente do valor que p   assumir.

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