30. Prove o Teorema 11.5.2.

Passo 1

Nesse caso de provar um teorema não tem muito o que se retirar do enunciado, basta observar na seção do que o teorema se trata e utilizar a sugestão dada na questão.

Passo 2

Como é dito no teorema, podemos escrever f x como sendo:

f x = P n x + R n x

Onde P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

e R n x = 1 n ! ∫ a x x - t n f n + 1 t d t .

Então,

f x =   f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n + 1 n ! ∫ a x x - t n f n + 1 t d t

Passo 3

Sabemos que, p a r a   n = 0   :

f x = f a + ∫ a x f n + 1 t d t

Passo 4

Supondo para um n = k   qualquer, podemos escrever :

f x =   f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f k a k !   . x - a k + 1 k ! ∫ a x x - t k f k + 1 t d t

Note que para resolução da integral que aparece na expressão da função, utiliza-se da técnida de integração por partes. Sendo assim a integral tem como resultado:

1 k ! ∫ a x x - t k f k + 1 t d t = f k + 1 a ( k + 1 ) ! x - a k + 1

Logo, Ao substituir o valor encontrado acima da expressão de f x temos que é verdadeira a afirmação do teorema em questão.

Resposta

Demonstração.

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