Enunciado

30. Prove o Teorema 11.5.2.

Passo 1

Nesse caso de provar um teorema não tem muito o que se retirar do enunciado, basta observar na seção do que o teorema se trata e utilizar a sugestão dada na questão.

Passo 2

Como é dito no teorema, podemos escrever f (x) como sendo:

f (x) = P_n (x) + R_n (x)

Onde P_n (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((n)) (a))/(n !) . (x - a)^n

e R_n (x) = (1)/(n !) int_a^x (x - t)^n f^((n + 1)) (t) d t .

Então,

f (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((n)) (a))/(n !) . (x - a)^n + (1)/(n !) int_a^x (x - t)^n f^((n + 1)) (t) d t

Passo 3

Sabemos que, p a r a n = 0 :

f (x) = f (a) + int_a^x f^((n + 1)) (t) d t

Passo 4

Supondo para um n = k qualquer, podemos escrever :

f (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((k)) (a))/(k !) . (x - a)^k + (1)/(k !) int_a^x (x - t)^k f^((k + 1)) (t) d t

Note que para resolução da integral que aparece na expressão da função, utiliza-se da técnida de integração por partes. Sendo assim a integral tem como resultado:

(1)/(k !) int_a^x (x - t)^k f^((k + 1)) (t) d t = (f^((k + 1)) (a))/(( k + 1 ) !) (x - a)^(k + 1)

Logo, Ao substituir o valor encontrado acima da expressão de f (x) temos que é verdadeira a afirmação do teorema em questão.

Resposta

Demonstração.

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27. Use o método do exercício 26 para encontrar uma solução aproximada da equação c o t gx = m x quando m é positivo e próximo de zero.
Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = l n ⁡ ( 1 + x ) , para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com quatro casas decimais de precisão.
23. Use o valor do Exercício 22 para encontrar um valor aproximado de ∫ 0 1 / 2 s e nx 2d x e estime o erro.
21. Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com precisao até a quarta casa decimal. Compare o resultado com o do exercício 20.
25. Mostre que a fórmula 1 + x - 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 x é precisa até a segunda casa decimal se - 0,1 ≤ x ≤ 0 .