Enunciado

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

3 .   f x = x 3 2 ; a = 4 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f 4 + f ´ 4 1 ! . x - 4 + f ´ ´ 4 2 ! . x - 4 2 + f 3 4 3 !   . x - 4 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = 4 .

Como f x = x 3 2 , temos que :

f 4 = 4 3 2 = 8

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = 3 2 x 1 2

f ´ 4 = 3

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = 3 4 x - 1 2

f ´ ´ 4 = 3 / 8

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = - 3 8 x - 3 2

f 3 4 = - 3 / 64

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = 8 + 3 1 ! . x - 4 + 3 / 8 2 ! . x - 4 2 + - 3 / 64 3 !   . x - 4 3

P 3 x = 8 + 3 x - 4 + 3 16 x - 4 2 - 3 128 x - 4 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = 9 16 x - 5 2

f 4 ε = 9 16 ε - 5 2

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - 4 4 = 9 16 ε - 5 2 4 ! . x - 4 4 = 3 x - 4 4 128 ε 5 2   ,   c o m   ε   e n t r e   4   e   x

Resposta

P 3 x = 8 + 3 x - 4 + 3 16 x - 4 2 - 3 128 x - 1 3

R 3 x = 3 x - 4 4 128 ε 5 2

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