Enunciado

30-47 Encontre a derivada.

42. y = x^2 senh^(- 1) (2 x)

Passo 1

Para começar a resolver essa derivada precisamos da regra do produto:

y^' = (d)/(d x) (x^2) * senh^(- 1) (2 x) + (d)/(d x) (senh^(- 1) (2 x)) * x^2

y^' = (2 x) * senh^(- 1) (2 x) + (d)/(d x) (senh^(- 1) (2 x)) * x^2

Quando vamos derivar o termo que apareceu nessa expressão devemos aplicar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

(d)/(d x) (senh^(- 1) (2 x)) = (senh^(- 1) (2 x))^' * (d)/(d x) (2 x)

A derivada da função inversa do seno hiperbólico é 1 // sqrt(1 + x^2) , então:

(d)/(d x) (senh^(- 1) (2 x)) = (1)/(sqrt(1 + (2 x)^2)) * (2)

Substituindo na expressão original:

y^' = 2 x senh^(- 1) (2 x) + (2)/(sqrt(1 + (2 x)^2)) * x^2

y^' = 2 x senh^(- 1) (2 x) + (2 x^2)/(sqrt(1 + (2 x)^2))

Resposta

y^' = 2 x senh^(- 1) (2 x) + (2 x^2)/(sqrt(1 + (2 x)^2))

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Encontre a derivada. Simplifique quando possível. y = cosh - 1 ⁡ x