Simplifique a expressão

sen(2 \* cos^(-1)(x))

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que simplificar a expressão:

sin ⁡ 2 cos - 1 ⁡ x

A primeira coisa que vamos fazer é usar a identidade trigonométrica:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Assim:

sin ⁡ 2 cos - 1 ⁡ x = 2 sin ⁡ cos - 1 ⁡ x cos ⁡ cos - 1 ⁡ x

Passo 2

Agora devemos lembrar que para as funções inversas o raciocínio deve ser o inverso do que fazemos com a função normal, ou seja, devemos pensar qual é o arco (ângulo) cuja função da o resultado entre parênteses.

2 sin ⁡ cos - 1 ⁡ x cos ⁡ cos - 1 ⁡ x

Pra a gente sair dessa a gente tem que entender que sin ⁡ cos - 1 ⁡ x e cos ⁡ cos - 1 ⁡ x estão relacionadas pelo teorema de Pitágoras, assim:

y = cos - 1 ⁡ x → cos ⁡ y = x

Vamos interpretar essa função inversa da forma geométrica pra ficar mais fácil:

Assumindo a hipotenusa como 1 podemos determinar pelo teorema de Pitágoras:

1 2 = x 2 + sin 2 ⁡ y

sin ⁡ y = 1 - x 2

Assim:

Passo 3

Substituindo na expressão original:

2 sin ⁡ cos - 1 ⁡ x cos ⁡ cos - 1 ⁡ x = 2 sin ⁡ y cos ⁡ y = 2 1 - x 2 x

Assim:

2 sin ⁡ cos - 1 ⁡ x cos ⁡ cos - 1 ⁡ x = 2 x 1 - x 2

Prontinho!

Resposta

2 x 1 - x 2

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