Enunciado

30-47 Encontre a derivada.

43. y = tgh^(- 1) (sqrt(x))

Passo 1

Quando derivamos essa função devemos aplicar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

y^' = tgh^(- 1)^' (sqrt(x)) * (d)/(d x) (sqrt(x))

A derivada da função inversa da tangente hiperbólica é 1 // ( 1 - x^2 ) , então:

y^' = (1)/((1 - sqrt(x)^2)) * (d)/(d x) (sqrt(x))

y^' = (1)/((1 - x)) * ((1)/(2 sqrt(x)))

y^' = (1)/(2 sqrt(x) (1 - x))

Resposta

y^' = (1)/(2 sqrt(x) (1 - x))

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