Enunciado

3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

3. F x ,   y = x y + y 2 i + x 2 + 2 x y j

Passo 1

Então pessoal, assim como o enunciado nos pede, de início temos que determinar se F é um campo conservativo ou não. Mas como fazemos isso? De acordo com a seção 16.3 do Stewart, um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:

F → = F x i → + F y j →

Para ser conservativo:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Passo 2

Nossa função é:

F x ,   y = x y + y 2 i + x 2 + 2 x y j

Encontrando as derivadas parciais:

∂ F x ∂ y = ∂ x y + y 2 ∂ y = x + 2 y

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 + 2 x y ∂ x = 2 x + 2 y

Como as derivadas parciais não deram a mesma coisa, então podemos afirmar que F não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo

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