Enunciado

Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = 0   e   y = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 ; ρ x , y = y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... Temos que encontrar a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D quando a função densidade é ρ x , y = y .

Os limites de y são de 0 a cos ⁡ x e x de - π 2 a π 2 .

Passo 2

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Podemos dizer que:

D = - π 2 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

A nossa integral vai ser:

m = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 cos ⁡ x y d y = y 2 2 0 cos ⁡ x

∫ 0 cos ⁡ x y d y = cos 2 ⁡ x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y d y d x = ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x d x

m = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x d x = 2 1 2 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

m = ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = x 2 + 1 2 sen ⁡ 2 x 2 0 π / 2

m = π 4 + 1 4 sen ⁡ 2 π 2

m = π 4 + 0

Portanto a massa da lâmina é:

m = π 4

Passo 3

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = M x m = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = M y m = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x x y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 x y 2 2 0 cos ⁡ x d x

Substituindo na integral de fora, temos:

x - = 4 π ∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x 2 d x = 4 2 π ∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x d x

Temos que:

∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x d x = 0

Logo:

x - = 0

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y 2 d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

y - = 4 π ∫ - π / 2 π / 2 y 3 3 0 cos ⁡ x d x

y - = 4 3 π ∫ - π / 2 π / 2 cos 3 ⁡ x d x

Como:

cos ⁡ 3 x = 4 cos 3 ⁡ x - 3 cos ⁡ x

Temos que:

y - = 4 3 π ∫ - π / 2 π / 2 1 4 cos ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ x d x

y - = 8 3 π ∫ 0 π / 2 1 4 cos ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ x d x

y - = 2 3 π sin ⁡ 3 x 3 + 3 sin ⁡ x 0 π / 2

y - = 2 3 π 1 3 - 1 + 3

y - = 2 3 π 3 - 1 3

y - = 2 3 π ⋅ 8 3

y - = 16 9 π

Portanto o centro de massa é o ponto:

0 , 16 9 π

Resposta

m = π 4

x - ,   y - = 0 , 16 9 π

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