Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 10
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região e é dada pela função da densidade .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Bom... Temos que encontrar a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região quando a função densidade é .
Os limites de são de a e de a .
Passo 2
Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:
Podemos dizer que:
A nossa integral vai ser:
Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:
Substituindo na integral de fora, temos:
Resolvendo, temos:
Portanto a massa da lâmina é:
Passo 3
O centro de massa da lâmina que ocupa a região e que possui função de densidade é:
Resolvendo , temos:
Resolvendo a integral de dentro:
Substituindo na integral de fora, temos:
Temos que:
Logo:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para encontrar , resolver:
Resolvendo a integral de dentro:
Como:
Temos que:
Portanto o centro de massa é o ponto: