Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = cos ⁡ x z j - sen ⁡ x y k

Passo 1

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor i . Portanto,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = - x cos ⁡ x y - x sen ⁡ x z i

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = 0 + y cos ⁡ x y j

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k = - z sen ⁡ x z - 0 k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = - x cos ⁡ x y - x sen ⁡ x z i + y cos ⁡ x y j + - z sen ⁡ x z k

Resposta

r o t   F = - x cos ⁡ x y - x sen ⁡ x z i + y cos ⁡ x y j + - z sen ⁡ x z k

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Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
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Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ ⋅ r → = 3 ∇ ⋅ r r → = 4 r ∇ 2 r 3 = 12 r
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão