Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 4a
Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.
Passo 1
Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que , então
Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,
Passo 2
Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor . Portanto,
Já para o termo que acompanha , temos:
Por fim, o termo que acompanha é:
Logo, o rotacional é:
Resposta
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Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ r = r → / r ∇ × r → = 0 ∇ 1 r = - r → / r 3 ∇ ln r = r → / r 2
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ ⋅ r → = 3 ∇ ⋅ r r → = 4 r ∇ 2 r 3 = 12 r
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão