Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em casa caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

33. lim x → - 2 ⁡ 1 x + 1 = - 1

Passo 1

Então pessoal, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Para o limite que nos foi dado, temos os seguintes dados:

f x = 1 x + 1

L = - 1

a = - 2

Ok, dados anotados!

Passo 2

Como o enunciado não define um δ , vamos escolher um valor conveniente para nós, ok? Considerando que δ < 1 2 , teremos:

0 < x - a < δ

0 < x + 2 < δ

- 2 - 1 2 < x < 1 2 - 2

- 5 2 < x < - 3 2

E disso podemos concluir que:

x + 1 < - 1 2

Por que fizemos isso de início? Já encontramos a restrição para x + 1 porque é a função que aparece no denominador da nossa função, galera! Sendo assim, temos que x + 1 > 1 2 .

Passo 3

Agora para a segunda restrição temos:

f x - L < ϵ

1 x + 1 - - 1 < ϵ

x + 2 x + 1 < ϵ

Mas pela restrição que encontramos no passo anterior, temos que:

2 x + 2 < ϵ

Então:

x + 2 < ϵ 2

∴ δ = min ⁡ 1 2 , ϵ 2

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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