Enunciado

Seja:

f x = 0 ,     c o m   x   r a c i o n a l 1 ,     c o m   x   i r r a c i o n a l

Use a definição 1.4.1 para provar que não existe lim x → 0 ⁡ f x . [Sugestão: Suponha que lim x → 0 ⁡ f x = L e aplique a Definição 1.4.1 com ϵ = 1 2 para concluir que 1 - L < 1 2 e L = 0 - L < 1 2 . Então, mostre que 1 ≤ 1 - L + L e obtenha uma contradição.]

Passo 1

Então pessoal, da definição rigorosa de limites temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Como o enunciado nos sugere fazer ϵ = 1 2 , então teremos:

f x - L < ϵ

f x - L < 1 2  

Mas só se:

0 < x - a < δ

0 < x < δ

Passo 2

Para valores racionais de x temos o seguinte, pessoal:

L < 1 2

Para valores irracionais de x temos:

1 - L < 1 2

No entanto:

1 = 1 = L + ( 1 - L )

Substituindo a partir das condições de L :

L + 1 - L < 1 2 + 1 2

1 < 1

Oxe, como assim? Então galera, essa é uma contradição e tanto, não é mesmo? Essa é uma das provas de que, de fato, o limite em questão não existe!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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lim x → 1 - ⁡ x x 2 - 1
Determine o limite lim θ → 0 ⁡ 2 - cot ⁡ θ
lim x → 2 3 ⁡ x 2 2 - 1 x
lim x → - 1 - ⁡ x x 2 - 1
lim x → 1 + ⁡ x x 2 - 1