Enunciado

29. a) Mostre que:

3 x 2 + 2 x - 20 - 300 = 3 x + 32 . x - 10

b) Encontre um número que seja maior do que 3 x + 32 para cada x que satisfaça x - 10 < 1 .

c) Preencha as lacunas para completar a prova de que:

lim x → 10 ⁡ 3 x 2 + 2 x - 20 = 300

Suponha que ϵ > 0 . Tome δ = m i n ⁡ ( 1 ,   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) e suponha que 0 < x - 10 < δ . Então:

3 x 2 + 2 x - 20 - 300 = 3 x + 32 . x - 10 < _ _ _ _   x - 10 < _ _ _ _ . _ _ _ _ = ϵ

Passo 1

a) Então pessoal, a igualdade que nos foi dada é essa aqui ó:

3 x 2 + 2 x - 20 - 300 = 3 x + 32 . x - 10

Simplificando o lado esquerdo teremos:

3 x 2 + 2 x - 320

Agora o que temos que fazer é resolver essa equação do segundo grau para encontrar as raízes da função. Precisamos fazer isso para escrever a equação na forma fatorada, ok? Então bora lá!

Passo 2

Da equação que nos foi dada temos:

∆   = b 2 - 4 a c

∆   = 2 2 + 4.3 . 320

∆   = 3844

Achando as raízes:

x 1,2 = - b ± ∆ 2 a

x 1 = - 2 + 3844 2 . 3 = 62 - 2 6 = 10

x 2 = - 2 - 3844 2 . 3 = - 62 - 2 6 = - 32 3

Na forma fatorada, temos que:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 . x - x 2

Para a nossa equação, teremos:

3 x 2 + 2 x - 320 = 3 . x - 10 . x + 32 3

3 x 2 + 2 x - 320 = 3 x + 32 . x - 10

Como queríamos provar!

Passo 3

b) Então galera, a condição que nos foi dada é:

x - 10 < 1

Disso podemos tirar que:

x < 1 + 10

x < 11

Para x = 11 , temos que:

3.11 + 32 = 65

Mas como x só pode ser menor do que 11 , então:

3 x + 32 < 65

E essa é a nossa resposta!

Passo 4

c) De início temos que calcular o δ para nosso limite, ok? Da definição de limite temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Sendo assim:

3 x 2 + 2 x - 20 - 300 < ϵ

3 x 2 + 2 x - 320 < ϵ

x - 10 < ϵ 3 x + 32

x - 10 < ϵ 65

Mas só se:

0 < x - 10 < δ

Comparando as duas condições, temos que:

δ = ϵ 65

Passo 5

De acordo com o que calculamos no passo 3 , teremos que:

3 x 2 + 2 x - 20 - 300 = 3 x + 32 . x - 10 < 65 . x - 10 < 65 . ϵ 65 = ϵ

Os valores em negrito são as lacunas que preenchemos, ok? Aqui utilizamos apenas os dados que encontramos nos outros passos, galera! E está aí nosso resultado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o limite l i m x → - 8 +2 x x + 8
Determine o limite lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3
lim x → - 2 + ⁡ 1 x 2 - 4
lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4
lim x → - 1 + ⁡ x x 2 - 1