Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

40. ∫ π 2 4 π 2 1 x . s e n   x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ π 2 4 π 2 1 x . s e n   x d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = x

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 1 2 x d x

∴ 2 d u = d x x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ π 2 4 π 2 1 x . s e n   x d x = 2 ∫ π 2 4 π 2 s e n   u d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = x

u 4 π 2 = 4 π 2 = 2 π

u π 2 = π 2 = π

Logo:

2 ∫ π 2 4 π 2 s e n   u d u = 2 ∫ π 2 π s e n   u d u

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

2 ∫ π 2 π s e n   u d u = - 2 cos ⁡ u 2 π π

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

2 ∫ π 2 π s e n   u d u = - 2 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ π

∴ ∫ π 2 4 π 2 1 x . s e n   x d x = - 4

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ π 2 4 π 2 1 x . s e n   x d x = - 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida. ∫ - π 2 π 2 3 d x 2 cos ⁡ x + 1
e) ∫ t g x sec ⁡ x 3 d x
j) ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x
b) ∫ t g 3 x sec 4 ⁡ x d x
h) ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x