e) ∫ t g x sec ⁡ x 3 d x  

Passo 1

Oi, pessoal! Nós temos essa integralzinha para resolver! Ela parece complicada mas a gente consegue sair dela fazendo uma substituição simples.

I = ∫ t g x ⋅ sec ⁡ x 3 d x

Só lembrar que a derivando secante temos,

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x . t g ( x )

Vamos lá!

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável, vamos chamar u = s e c ⁡ ( x ) pois ele é a parte mais complexa!

u = s e c ⁡ ( x )       ( i )

Derivando,

d u = sec ⁡ x ⋅ t g x d x → t g x d x = d u u

Passo 2

A estratégia nessa questão será fazer a seguinte substituição, vamos chamar

u = s e c ⁡ ( x )

pois ele é a parte mais complexa! Derivando,

d u = sec ⁡ x ⋅ t g x d x → t g x d x = d u sec ⁡ x

Mas lembrando da nossa substituição u = s e c ⁡ ( x ) , podemos escrever

t g x d x = d u u

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ t g x ⋅ sec ⁡ x 3 d x = ∫ sec ⁡ x 3 ⋅ t g x d x

Indo para variável u :

I = ∫ u 3 d u u = ∫ u 1 3 u d u = ∫ u - 2 3   d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora é só resolver as integrais!

I = ∫ u - 2 3   d u = u - 2 3 + 1 - 2 3 + 1 + c

Fazendo as contas, temos:

I = 3 ⋅ u 1 3 + c = 3 ⋅ u 3 + c

Voltando para variável s e c ( x ) :

I = 3 ⋅ sec ⁡ x 3 + c

Resposta

3 ⋅ sec ⁡ x 3 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados