b) ∫ t g 3 x sec 4 ⁡ x d x  

Passo 1

I = ∫ t g 3 x ⋅ sec 4 ⁡ x d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável, olha só:

u = s e c x       ( * )

Derivando,

d u = sec ⁡ x t g x d x

Viu que quando derivamos apareceu o termo parecido com o que temos na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa para encaixar as coisas!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ t g 3 x ⋅ sec 4 ⁡ x d x = ∫ t g 2 ( x ) ⋅ sec 3 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x t g x d x

Conseguimos fazer aparecer nosso d u ! Pra finalizar, precisamos expressar tg 2 ⁡ ( x ) em função de s e c ( x ) , mas sabemos o seguinte:

1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ ( x )

Isto é:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1 = u 2 - 1

Então nossa integral fica assim ó:

I = ∫ t g 2 ( x ) ⋅ sec 3 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x t g x d x = ∫ ( u 2 - 1 ) ⋅ u 3   d u = ∫ u 5 d u - ∫ u 3 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = ∫ u 5 d u - ∫ u 3 d u = u 6 6 - u 4 4 + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Voltando para a variável s e c ( x ) :

I = sec 6 ⁡ ( x ) 6 - sec 4 ⁡ x 4 + c

Resposta

sec 6 ⁡ ( x ) 6 - sec 4 ⁡ x 4 + c

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