Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

43. ∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y

A substituição que iremos utilizar é:

u = 4 - 3 y

Disso também tiramos que:

y = 1 3 4 - u

Encontrando a relação entre d y e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = - 3 d y

- 1 3 d u = d y

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y = - 1 3 ∫ 0 1 1 9 4 2 - 8 u + u 2 u   d y

∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y = - 1 27 ∫ 0 1 16 - 8 u + u 2 u   d y

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u y que encontramos no passo anterior, se liga:

u = 4 - 3 y

u 1 = 4 - 3.1 = 1

u 0 = 4 - 3.0 = 4

Logo:

- 1 27 ∫ 0 1 16 - 8 u + u 2 u   d y = - 1 27 ∫ 4 1 16 - 8 u + u 2 u   d y

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

- 1 27 ∫ 4 1 16 - 8 u + u 2 u   d y = - 1 27 32 u 1 2 - 16 3 u 3 2 + 2 5 u 5 2 1 4

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y = - 1 27 32 1 1 2 - 16 3 1 3 2 + 2 5 1 5 2 - - 32 4 1 2 - 16 3 4 3 2 + 2 5 4 5 2 -

∴ ∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y = 106 405

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 1 y 2 4 - 3 y   d y = 106 405

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Calcule as integrais supondo que n seja um inteiro positivo e que b ≠ 0 . ∫ a + b x nd x
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