Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

44. ∫ - 1 4 x 5 + x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ - 1 4 x 5 + x d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = 5 + x

E disso também tiramos que:

x = u - 5

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ - 1 4 x 5 + x d x = ∫ - 1 4 u - 5 u d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = 5 + x

u 4 = 5 + 4 = 9

u - 1 = 5 - 1 = 4

Logo:

∫ - 1 4 u - 5 u d u = ∫ 4 9 u 1 2 - 5 u - 1 2 d u

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

∫ 4 9 u 1 2 - 5 u - 1 2 d u = 2 3 u 3 2 - 10 u 1 2 9 4

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

∫ 4 9 u 1 2 - 5 u - 1 2 d u = 2 3 9 3 2 - 10 9 1 2 - 2 3 4 3 2 - 10 4 1 2

∴ ∫ - 1 4 x 5 + x d x = 8 3

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ - 1 4 x 5 + x d x = 8 3

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Mostre que a fórmula (2) desta secção é equivalente à fórmula ∫ sec ⁡ xd x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C . (Sugestão: multiplique o numerador e o denominador sob o radical por ( 1 + s e nx ) .)
Calcule a integral ∫ tan ⁡ 1 2 x s e nxd x por dois métodos: (a) tomando z = tan ⁡ 1 2 x ; (b) tomando u = 1 2 x e obtendo uma integral envolvendo funções trigonométricas de u .
Use a substituição dessa secção, z = tan ⁡ 1 2 x para mostrar que ∫ s e nxd x = - cos ⁡ x + C .
Calcule a integral definida. ∫ 0 π / 2 s e n2 x 1 + cos ⁡ xd x
Calcule a integral definida. ∫ 0 π 4 8 d x tan ⁡ x + 1