Calcule a integral definida.

∫ 0 π / 2 s e n   2 x 1 + cos ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Primeiro, vamos usar a fórmula do arco duplo para reescrever a integral:

I = ∫ 0 π / 2 s e n   2 x 1 + cos ⁡ x   d x = ∫ 0 π / 2 2   s e n   x cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x

Como se trata de uma função racional de senos e cossenos, vamos usar a substituição apresentada na seção do livro z = tan ⁡ 1 2 x . Fazendo essa substituição, temos que

s e n   x = 2 z 1 + z 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

d x = 2 1 + z 2   d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Passo 2

Quando x = 0 , z = tan ⁡ 0 = 0 , já para x = π / 2 , z = tan ⁡ π 4 = 1 . Assim,

I = ∫ 0 1 2 ⋅ 2 z 1 + z 2 ⋅ 1 - z 2 1 + z 2 1 + 1 - z 2 1 + z 2 2 1 + z 2   d z = ∫ 0 1 8   z   ( 1 - z 2 ) 1 + z 2 3 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2   d z

Portanto,

I = ∫ 0 1 8   z   ( 1 - z 2 ) 2   1 + z 2 2   d z = 4   ∫ 0 1 z   ( 1 - z 2 ) 1 + z 2 2   d z

Separando em duas integrais:

I = 4 ∫ 0 1 z 1 + z 2 2 d z - 4 ∫ 0 1 z 3 1 + z 2 2   d z

Podemos escrever I = 4   I 1 - 4 I 2 , com

I 1 = ∫ 0 1 z 1 + z 2 2 d z

I 2 = ∫ 0 1 z 3 1 + z 2 2   d z

Passo 3

Vamos calcular primeiro I 1 fazendo a mudança de variável t = 1 + z 2 , de modo que d t = 2 z   d z . Assim,

I 1 = 1 2 ∫ 1 2 1 t 2   d t = - 1 2   1 t 1 2 = - 1 2 1 2 - 1 = 1 4

Como eu mudei de variável de novo eu tive que mudar os limites de integração: quando z = 0 , temos t = 1 e para z = 1 , t = 2 .

Para calcular I 2 , faremos a mesma substituição. Porém, com z 2 = t - 1 :

z 3 d z = z 2 ⋅ z   d z = t - 1 d t 2

Assim,

I 2 = 1 2 ∫ 1 2 t - 1 t 2   d t = 1 2 ∫ 1 2 1 t   d t - 1 2 ∫ 1 2 1 t 2   d t = 1 2 ln ⁡ t 1 2 - I 1 = 1 2 ln ⁡ 2 - 1 4

Portanto:

I = 4 ⋅ 1 4 - 4 ⋅ 1 2 ln ⁡ 2 - 1 4 = 2 - 2 ln ⁡ 2

Resposta

2 - 2 ln ⁡ 2

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