Enunciado

Calcule a integral

∫ tan ⁡ 1 2 x s e n   x   d x

por dois métodos: (a) tomando z = tan ⁡ 1 2 x ; (b) tomando u = 1 2 x e obtendo uma integral envolvendo funções trigonométricas de u .

Passo 1

O exercício pede para você resolver uma integral de duas formas diferentes e em ambos os casos ele dá a substituição que você deve usar. Vamos começar pelo item (a): ele quer que você use a mudança de variável z = tan ⁡ 1 2 x . Quando você usa essa substituição:

s e n   x = 2 z 1 + z 2

cos ⁡ x = 1 - z 2 1 + z 2

d x = 2 1 + z 2   d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Assim, a integral será

I = ∫ tan ⁡ 1 2 x s e n   x   d x = ∫ z 2 z 1 + z 2 ⋅ 2 1 + z 2   d z

Note que todos os termos vão se cancelar. Portanto,

I = ∫ d z = z + C = tan ⁡ 1 2 x + C

Passo 2

Agora vamos ao item (b). O que ele pede é a substituição:

u = 1 2 x ⇒ x = 2 u ⇒ d x = 2 d u

Assim,

I = ∫ tan ⁡ 1 2 x s e n   x   d x = ∫ tan ⁡ u s e n   2 u ⋅ 2 d u

Agora vamos lembrar da fórmula do arco duplo: s e n   2 u = 2   s e n   u cos ⁡ u :

I = ∫ 2 tan ⁡ u 2   s e n   u cos ⁡ u   d u = ∫ tan ⁡ u s e n   u cos ⁡ u   d u

Lembrando que tan ⁡ u = s e n   u / cos ⁡ u :

I = ∫ s e n   u cos ⁡ u s e n   u cos ⁡ u d u = ∫ 1 cos 2 ⁡ u   d u = ∫ sec 2 ⁡ u   d u

Passo 3

Por fim, você tem que lembrar que derivada da tangente é secante ao quadrado, logo a primitiva da secante ao quadrado é a tangente:

I = ∫ sec 2 ⁡ u   d u = tan ⁡ u + C

Lembrando que u = 1 2 x :

I = tan ⁡ 1 2 x + C

Note que é mesma resposta do item (a), como deve ser!

Resposta

tan ⁡ 1 2 x + C

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