Enunciado

32. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela reta que passa por (1,3) e (3, 7) e pelas retas y = 3 , y = 7 e x = 0.

Passo 1

Para conseguirmos resolver o que o enunciado nos pede, seria ideal desenhar a região da qual ele está falando para conseguirmos visualizar melhor o problema. Neste tipo de questão de volume de sólido obtido a partir da rotação sobre algum eixo devemos levar em consideração sobre qual eixo está sendo rotacionado. Como neste caso está sendo em torno do eixo y, devemos encontrar uma função x = f ( y ) que descreve a variação do raio da região em questão na medida em que eu vou variando o meu valor de y.

Devemos ter em mente também que o volume de um sólido obtido pela rotação em torno de um eixo qualquer é dado por V =   ∫ c d A y . d y = ∫ c d π . f y 2 d y .

Passo 2

Um esboço da região em que o enunciado se trata pode ser representado pela seguinte forma:

Passo 3

A próxima etapa para resolução é determinar qual é a função x = f ( y ) que descreve a variação do raio do sólido em questão. Esta função pode ser obtida a partir da determinação da equação da reta que passa pelos pontos dado no enunciado da seguinte forma:

x y 1 1 3 1 3 7 1 = 0

A partir da resolução do determinante acima obtem-se que :

2 y - 4 x - 2 = 0  

x = 1 2 y - 1

Ou seja, obtemos a nossa função que descreve como x muda na medida em que y varia.

Passo 4

Assim, o volume da região em questão é obtido da seguinte forma :

V =   ∫ c d A y . d y = ∫ c d π . f y 2 d y = ∫ 3 7 π . 1 2 y - 1 2 d y = ∫ 3 7 π 4 . y 2 - 2 y + 1 d y

=   π 4 y 3 3 - 2 y 2 2 + y 3 7 = π 4 7 3 3 - 7 2 + 7 - 3 3 3 - 3 2 + 3 = 52 π 3

Logo, o volume do sólido de revolução obtido é V = 52 π 3 .

Resposta

V = 52 π 3

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