Enunciado

40. Ache por integração, a área do triângulo tendo vértices (3,4), (2,0), e (0,1).

Passo 1

Vamos colocar esses pontos num gráfico para ver o triângulo e a região delimitada por eles. Depois usamos soma de Riemann pra calcular a área.

Passo 2

Colocando no gráfico, teremos:

Com os vértices A=(3,4), B=(2,0), e C=(0,1). ;)

Passo 3

Precisamos escrever equações que ligam um vértica ao outro, então vamos chamar de L 1 do vértice A pro B, L 2 do vértice B pro C e L 3 do vértice C pro A.

L 1 : y = 4 x - 8

L 2 : y = - x 2 + 1

L 3 : y = x + 1

Passo 4

Agora precisamos dividir a área em duas, uma com x   de 0 até 2 e outra com x de 2 até 3, assim ó...

Então ficaremos com uma área A 1   com L 3 acima e L 2 abaixo até x = 2 e outra área A 2   com L 1 acima e L 2 abaixo de x = 2 até x = 3 . As duas juntas dão a área do triângulo

Passo 5

Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A 1 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ w i + 1 - - w i 2 + 1 ] ∆ i x =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 3 2 w i ) ∆ i x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ w i + 1 - 4 w i - 8 ] ∆ i x =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n - 3 ( w i - 3 ) ∆ i x

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Passo 6

Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

A 1 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 3 2 w i ) ∆ i x = ∫ 0 2 ( 3 2 x )   d x

A 2 =   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n - 3 ( w i - 3 ) ∆ i x = ∫ 2 3 - 3 ( x - 3 ) d x

Resolvendo...

A 1 = ∫ 0 2 ( 3 2 x )   d x = 3 4 x 2 0 2 = ( 3 4 2 2 ) = 3

A 2 = ∫ 2 3 - 3 ( x - 3 ) d x = - 3 x 2 2 - 3 x 2 3 = - 3 3 2 2 - 3 . 3 - 2 2 2 - 3 . 2 = 3 2

A = A 1 + A 2 = 3 + 3 2 = 9 2

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

A = 9 2

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