Enunciado

32. Bombeamento de um tanque cilíndrico Um tanque de armazenagem é um cilindro circular reto com 20 pés de comprimento e 8 pés de diâmetro, com eixo horizontal. Se o tanque está pela metade com azeite de oliva, que pesa 57 lb/pé3, determine o trabalho realizado para esvaziá-lo através de um cano que vai do fundo do tanque até uma saída 6 pés acima do topo.

Passo 1

O tanque é um cilindro deitado, podemos desenhar sua seção transversal dessa forma:

Imagine que esse reservatório é igual a uma soma de vários paralelepipedos com alturas infinitesimais, o volume do paralelepípedo é comprimento vezes a base vezes a altura, nesse caso a equação vai ficar:

d V = 2 0 ⋅ 2 x ⋅ d y

Nós conhecemos a equação da circunferência, dessa forma temos a coordenada x e função de y:

d V = 4 0 16 - y 2 d y

O peso desse pedacinho de volume é igual ao voluma vezes a densidade da líquido, 57   l b / p é 3 :

d P = ρ ⋅ d V

d P = 57 ⋅ 4 0 16 - y 2 d y

d P = 228 0 16 - y 2 d y

Passo 2

Para nós levarmos esse peso até a altura desejada vamos ter que fazer um poquinho de trabalho, podemos escrever assim:

d W = h ⋅ d P

A altura que cada pedaço de volume subiu vai ser igual a ( 6   p é s + 4   p é s ) menos sua própria altura:

h = 10 - y

Então seu trabalho é igual a

d W = 10 - y ⋅ 2280 16 - y 2 d y

d W = 2280 0 16 - y 2 - 2280 y 16 - y 2 d y

Passo 3

Integrando essa equação, vamos descobrir o trabalho total necessário para bombear a água, os limites de integração vão de -4 até 0, que é onde tem o azeite:

W = ∫ - 4 0 22800 16 - y 2 - 2280 y 16 - y 2 d y

W = 22800 ∫ - 4 0 16 - y 2 d y - 2280 ∫ - 4 0 y 16 - y 2 d y

Vamos usar a técnica de substituição na segunda raiz:

u = 16 - y 2

d u = - 2 y ⋅ d y

Os limites de integração ficam:

y = - 4 ⇒ u = 0

y = 0 ⇒ u = 16

W = 22800 I n t e g r a l   d e   u m   q u a r t o   d e   u m   c i r c u l o   d e   r a i o   1 - 2280 ∫ 0 16 - u 2 d y

Para resolvermos essa primeira integral precisamos de uma técnica que vai ser aprendida no capitulo 8, mas podemos observar que 16 - y 2 é uma metade de circunferência, a metade onde x é positivo. Como os limites de integração estão indo de - 4 até 0 , ou seja, só na parte negativa de y , dessa forma vamos ter somente um quarto da circunferência. E como a integral é numericamente igual a área sob a curva podemos simplesmente calcular a área de um quarto de circulo com raio 4:

W = 22800 π 4 2 4 + 114 0 2 u 3 / 2 3 0 16

W = 91200 π + 1140 2 ( 16 ) 3 / 2 3

W ≈ 335.153,25   p é s ⋅ l b

Resposta

W ≈ 335.153,25   p é s ⋅ l b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Lei de Newton da Gravitação Universal para calcular o trabalho necessário para lançar verticalmente um satélite de 1000 kg a uma órbita de 1000 km de altura. Você pode supor que a massa da Terra
Um balde de 10 kg, furado, é levantado do chão até uma altura de 12 m a uma velocidade constante, por uma corda que pesa 0,8 kg/m. Inicialmente o balde contém 36 kg de água, mas a água vaza a uma taxa
A Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois corpos com massas m 1 e m 2 atraem um ao outro com uma força de: F = G m 1 m 2 r 2 Onde r é a distância entre os corpos e G é a constante gravit