Enunciado

32. O Problema da Braquistócrona. Um dos problemas famosos na história da matemática é oproblema da braquistócrona:9 encontrar uma curva ao longo da qual uma partícula desliza sematrito em um tempo mínimo de um ponto dado P até outro ponto Q, em que o segundo ponto estámais baixo do que o primeiro, mas não diretamente debaixo (veja a Figura 2.3.6). Esseproblema foi proposto por Johann Bernoulli em 1696 como um desafio para os matemáticos daépoca. Johann Bernoulli e seu irmão Jakob Bernoulli, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e omarquês de L’Hôpital encontraram soluções corretas. O problema da braquistócrona éimportante no desenvolvimento da matemática como um dos precursores do cálculo dasvariações.Ao resolver esse problema, é conveniente colocar a origem no ponto superior P e orientar os eixos conforme ilustrado na Figura 2.3.6. O ponto mais baixo Q tem coordenadas (x0, y0).possível mostrar, então, que a curva de tempo mínimo é dada por uma função y = ϕ(t) qsatisfaz a equação diferencial

1 + y ' 2 y = k 2

em que k2 é certa constante positiva a ser determinada mais tarde.(a) Resolva a Eq. (i) para y′. Por que é necessário escolher a raiz quadrada positiva?(b) Introduza uma nova variável t pela relação

y = k 2 sen 2 ⁡ t

FIGURA 2.3.6 A braquistócrona.

Mostre que a equação encontrada no item (a) fica, então, na forma

2 k 2 sen 2 ⁡ t d t = d x

(c) Fazendo θ = 2t, mostre que a solução da Eq. (iii) para a qual x = 0 quando y = 0 é dada porAs Eqs. (iv) são equações paramétricas da solução da Eq. (i) que contém o ponto (0, 0). Ográfico das Eqs. (iv) é chamado de cicloide.(d) Se fizermos uma escolha apropriada da constante k, então a cicloide também contém oponto (x0, y0) e é a solução do problema da braquistócrona. Encontre k, se x0 = 1 e y0 = 2

Passo 1

Conseguimos achar no item a) a seguinte relação

d y d x = k 2 y - 1 1 / 2

Agora o exercício pede que façamos a substituição de   y → t pela relação

y = k 2 sen 2 ⁡ t

Vamos derivar essa função então

d y d t = k 2 2 sen ⁡ t ⋅ cos ⁡ t

d y d t = k 2 sen ⁡ 2 t

d y =   k 2 sen ⁡ 2 t d t  

Passo 2

Vamos substituir essa derivada na nossa função do item a)

d y d x = k 2 y - 1 1 / 2

d y = k 2 y - 1 1 / 2 d x

k 2 sen ⁡ 2 t d t   = k 2 k 2 sen 2 ⁡ t - 1 1 / 2 d x

k 2 sen ⁡ 2 t d t   = 1 sen 2 ⁡ t - 1 1 / 2 d x

k 2 sen ⁡ 2 t d t   = 1 - sen 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t 1 / 2 d x

Vamos usar a relação trigonométrica fundamental para facilitar nosso problema

k 2 sen ⁡ 2 t d t   = cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t 1 / 2 d x

k 2 sen ⁡ 2 t d t   = cos ⁡ t sen ⁡ t d x

Vamos abrir sen ⁡ 2 t

k 2 2 sen ⁡ t cos ⁡ t d t   = cos ⁡ t sen ⁡ t d x

k 2 2 sen ⁡ t cos ⁡ t d t ⋅ sen ⁡ t cos ⁡ t   = d x

2 k 2 sen 2 ⁡ t d t   = d x

Conseguimos provar o que o exercício nos pede. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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