Enunciado

30. Sejam υ(t) e w(t) a componente horizontal e a componente vertical, respectivamente, davelocidade de uma bola de beisebol rebatida (ou lançada). Na ausência de resistência do ar, υe w satisfazem as equações

/dt = 0 dw/dt = –g.

  1. Mostre que

υ = u cos A, w = –gt + u sen A,

em que u é a velocidade escalar inicial da bola e A é o ângulo inicial de elevação.(b) Sejam x(t) e y(t), respectivamente, a coordenada horizontal e a coordenada vertical da bolano instante t. Se x(0) = 0 e y(0) = h, encontre x(t) e y(t) em qualquer instante t.(c) Sejam g = 32 pés/s2, u = 125 pés/s e h = 3 pés. Desenhe a trajetória da bola para diversosvalores do ângulo A, ou seja, faça os gráficos de x(t) e y(t) parametricamente.(d) Suponha que o muro que delimita o campo está a uma distância L e tem altura H. Encontreuma relação entre u e A que tem que ser satisfeita para que a bola passe por cima do muro.(e) Suponha que L = 350 pés e H = 10 pés. Usando a relação no item (d), encontre (ou estime apartir de um gráfico) o intervalo de valores de A que correspondem a uma velocidade escalarinicial u = 110 pés/s.(f) Para L = 350 e H = 10, encontre a velocidade inicial mínima u e o ângulo ótimocorrespondente A para o qual a bola passa por cima do muro.

Passo 1

Agora que já temos as equações para as velocidades, queremos saber as equações de posição para a bola. Para isso vamos apenas precisar integrar mais uma vez as velocidades

υ   =   u cos ⁡ A

w   =   – g t   +   u   s e n   A  

Podemos fazer o seguinte truque

d x d t = u cos ⁡ A  

d y d t =   – g t   +   u   s e n   A  

Passo 2

Agora só nos resta integrar em ambos os lados das duas equações, vamos aproveitar que essas equações são separáveis, o que facilita e muito nosso trabalho.

∫ d x = ∫ u cos ⁡ A d t

x = u t cos ⁡ A + C

E vamos usar os dados de contorno para descobrir C

x 0 = 0

0 = C

Logo nossa função final é

x = u t cos ⁡ A

Passo 3

Vamos repetir o mesmo processo para descobrir y

∫ d y = ∫ – g t   +   u   s e n   A d t

y =   - g t 2 2 + u t sen ⁡ A   + C

E vamos usar os dados de contorno para descobrir C

y 0 = h

h = C

Logo nossa função final é

y =   - g t 2 2 + u t sen ⁡ A   + h

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

x = u t cos ⁡ A

y =   - g t 2 2 + u t sen ⁡ A   + h

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