Enunciado

33) A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T ( em kelvins), pressão P   (em atmosferas) e volume V (em litros) é P V = n R T , em que n é o número de mols de gás e R = 0,0821 é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante, P = 8 atm. e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min e V = 10 L. e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se n = 10 mols.

Passo 1

Opa, bora resolver esse exercício! Aqui temos uma equação que relaciona cinco propriedades físicas e três delas variam com o tempo t em minutos, ou seja, a derivada de cada uma em função do tempo expressa a taxa com que isso acontece. Foram dadas essas taxas de duas dessas propriedades em um determinado instante e pedido a taxa de variação (derivada) da terceira( a temperatura T ). Sendo assim, vamos correlaciona-la e isola-la na equação dada:

P V = n R T

T = P V n R

Passo 2

Lembrando que n e R são fixos vamos derivar a equação em função do tempo( t ):

T ' t = 1 n R × d d t P V

Aplicando a regra do produto temos:

T ' t = 1 n R × P ' t × V + P × V ' ( t )

Passo 3

Agora é só substituir pelo que foi dado no enunciado sem esquecer que pelo volume estar decrescendo, sua taxa de variação ( V ' ( t ) ) é negativa:

T ' t = 1 10 × 0,0821 × 0,10 × 10 + 8 × ( - 0,15 )

T ' t = 0,10 × 10 + 8 × ( - 0,15 ) 10 × 0,0821

T ' t = - 0,243 (Kelvins/min)

Logo, a temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de 0,243 Kelvins por minuto!

Resposta

A temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de 0,243 Kelvins por minuto.

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