Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 37
33) A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta ( em kelvins), pressão (em atmosferas) e volume (em litros) é , em que é o número de mols de gás e é uma constante do gás. Suponha que, em um certo instante, atm. e está crescendo a uma taxa de atm/min e L. e está decrescendo a uma taxa de L/min. Encontre a taxa de variação de em relação ao tempo naquele instante, se mols.
Passo 1
Opa, bora resolver esse exercício! Aqui temos uma equação que relaciona cinco propriedades físicas e três delas variam com o tempo em minutos, ou seja, a derivada de cada uma em função do tempo expressa a taxa com que isso acontece. Foram dadas essas taxas de duas dessas propriedades em um determinado instante e pedido a taxa de variação (derivada) da terceira( a temperatura ). Sendo assim, vamos correlaciona-la e isola-la na equação dada:
Passo 2
Lembrando que e são fixos vamos derivar a equação em função do tempo():
Aplicando a regra do produto temos:
Passo 3
Agora é só substituir pelo que foi dado no enunciado sem esquecer que pelo volume estar decrescendo, sua taxa de variação () é negativa:
(Kelvins/min)
Logo, a temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de Kelvins por minuto!
Resposta
A temperatura naquele instante decresce (por causa do sinal negativo) a uma razão de Kelvins por minuto.
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