Enunciado

Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um pequeno lago e removida regulamente. Um modelo para a taxa de variação da população é dado pela equação

d P d t = r 0 1 - P t P c P t - β P ( t )

na qual r 0 é a taxa de nascimento dos peixes; P c , a população máxima que o pequeno lago pode manter (ou seja, sua capacidade de suporte); e β , a porcentagem da população que é removida.

(a) Qual o valor de d P d t que corresponde à população estável?

(b) Se o pequeno lago pode manter 10   000 peixes, a taxa de nascimento é de 5 % e a taxa de colheita, 4 % , encontre o nível estável da população.

(c) O que acontece se β for aumentada para 5 % ?

Passo 1

Item a:

A população permanece estável quando não cresce nem decresce, ou seja, não varia, sua população permanece constante. Se a população ( P ( t ) ) é uma função constante, sua derivada em função do tempo é nula. Logo, a população estável corresponde à d P d t = 0 .

Passo 2

Item b:

Vamos analisar o que foi dado na questão:

Se o pequeno lago pode manter 10   000 , então: P c = 10000 ;

Se a taxa de nascimento é de 5 % , então: r 0 = 5 100 = 0,05 ;

Se a taxa de colheita é de 4 % , então: β = 4 100 = 0,04 ;

Se a população está estável, então: d P d t = 0 ;

Passo 3

Pede-se o nível da população para que essa condição seja possível, ou seja, o tamanho da população de peixes P ( t ) nessa circunstância. Para solucionar esse problema basta resolver a equação com os dados fornecidos:

d P d t = r 0 1 - P t P c P t - β P ( t )

0 = 5 100 1 - P t 10000 P t - 4 100 P ( t )

0 = 5 1 - P t 10000 P t - 4 P ( t )  

0 = 5 1 - P t 10000 P t - 4 P ( t )  

Como a população não é nula, podemos dividir a equação por P ( t ) obtendo:

0 = 5 1 - P t 10000 - 4  

1 - P t 10000 = 4 5

P t 10000 = 9 5

P t = 18000 (Peixes)

Passo 4

Item c:

Como no item b, as condições são as mesmas, mas agora β = 5 100 = 0,05 . Agora é só calcular:

0 = 5 100 1 - P t 10000 P t - 5 100 P ( t )

0 = 1 - P t 10000 P t - P ( t )

0 = P ( t ) - P t 2 10000 - P t

P t 2 = 0

P t = 0

A única solução neste caso é zero, isso significa que independente do tempo, essa população não se estabilizará, a não ser e claro que essa população seja reduzida a nada, o que não é viável.

Resposta

(a) d P d t = 0

(b) P t = 18000 (Peixes)

(c) P t = 0 . A única solução neste caso é zero, isso significa que independente do tempo, essa população não se estabilizará, a não ser e claro que essa população seja reduzida a nada, o que não é viável.

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