Enunciado

A tabela dá estimativas da população mundial, em milhões, de 1750 a 2000 .

(a) Use o modelo exponencial e os valores da população para 1750 e 1800 para prever a população do mundo em 1900 e 1950 . Compare com os valores da tabela.

(b) Use o modelo exponencial e os valores da população para 1850 e 1900 para prever a população do mundo em 1950 . Compare com o valor da tabela.

(c) Use o modelo exponencial e os valores da população para 1900 e 1950 para prever a população do mundo em 2000 . Compare com o valor da tabela e tente explicar a discrepância.

Passo 1

(a) Nesse enunciado temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos P ( t ) a população mundial em função do tempo ( t ) em anos e tendo k como a taxa de crescimento relativa temos:

k = P ' t P t

Ou também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Passo 2

Agora precisamos identificar as variáveis do problema. Sabemos que y t = P t e que o valor de k é desconhecido.

Sabemos que em 1750 , tomando este como o ano inicial a população, em milhões, era de 790 , logo, P 1750 = 790 (milhões) e após 1800 - 1750 = 50 anos (que é o nosso t ) a população é de 980 (milhões) então P 1800 = 980 (milhões). Aplicando esses valores na equação exponencial obtemos o seguinte:

P 1800 = 980 = P 1750 e k * 50

790 * e k * 50 = 980

e k * 50 = 980 790

e 50 k = 98 79

Aplicando o logaritmo natural temos:

ln ⁡ e 50 k = ln ⁡ 98 79

50 k ln ⁡ e = ln ⁡ 98 79  

Como ln ⁡ e = 1 :

50 k = ln ⁡ 98 79

k = ln ⁡ 98 79 50  

Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a ln ⁡ 98 79 50   .

Tendo o valor de k é só aplicar à equação exponencial para encontrar o P 1900 , lembrando que t = 1900 - 1750 = 150 anos:

P 1900 = P 1750 * e   ln ⁡ 98 79 50 * 150

P 1900 = 790 * e   ln ⁡ 98 79 50 * 150

P 1900 = 1508,078834 (Milhões)

Para P ( 1950 ) , o procedimento é mesmo, mas com t = 1950 - 1750 = 200 , então:

P 1950 = P 1750 * e   ln ⁡ 98 79 50 * 200

P 1950 = 790 * e   ln ⁡ 98 79 50 * 200

P 1950 = 1870,781338 (milhões)

Podemos ver que esses valores divergem dos valores reais;

Passo 3

(b) Neste item é usada a mesma ideia do item (a),só que agora usaremos o valor de início como P 1850 = 1260 (milhões) e para calcular o k utilizaremos o P 1900 = 1650 (milhões) com o tempo t = 1900 - 1850 = 50 anos:

P 1900 = 1650 = P 1850 e k * 50

1260 * e k * 50 = 1650

e k * 50 = 1650 1260

e 50 k = 55 42

ln ⁡ e 50 k = ln ⁡ 55 42

50 k ln ⁡ e = ln ⁡ 55 42  

50 k = ln ⁡ 55 42

k = ln ⁡ 55 42 50  

Para P 1950 com t = 1950 - 1850 = 100 :

P 1950 = P 1850 * e   ln ⁡ 55 42 50 * 100

P 1950 = 1260 * e   ln ⁡ 55 42 50 * 100

P 1950 = 2160,714286 (milhões)

Que é um valor mais próximo que o obtido anterior.

Passo 4

(c) Neste item é usada a mesma ideia dos itens (a) e (b), só que agora usaremos o valor de início como P 1900 = 1650 (milhões) e para calcular o k utilizaremos o P 1950 = 2560 (milhões) com o tempo t = 1950 - 1900 = 50 anos:

P 1950 = 2560 = P 1900 e k * 50

1650 * e k * 50 = 2560

e k * 50 = 2560 1650

e 50 k = 256 165

ln ⁡ e 50 k = ln ⁡ 256 165

50 k ln ⁡ e = ln ⁡ 256 165  

50 k = ln ⁡ 256 165

k = ln ⁡ 256 165 50  

Para P 2000 com t = 2000 - 1900 = 100 :

P 2000 = P 1900 * e   ln ⁡ 256 165 50 * 100

P 2000 = 1650 * e   ln ⁡ 256 165 50 * 100

P 2000 = 3971,878788 (Milhões)

O valor obtido é muito discrepante do real. Isso acontece por conta dos inúmeros fatores e fenômenos dos âmbitos sociais, políticos, religiosos, econômicos, dentre outros, que fazem com que a população mundial flutue fora da curva exponencial.

Resposta

(a)   P 1900 = 1508,078834 (milhões de pessoas) e P 1950 = 1870,781338 (milhões de pessoas)

(b)   P 1950 = 2160,714286 (milhões de pessoas)

(c) P 2000 = 3971,878788 (milhões de pessoas)

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