Enunciado

33-36. Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 4 n

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos da série dada, tudo bem? Temos:

∑ n = 1 10 1 3 n + 4 n = 1 3 1 + 4 1 + 1 3 2 + 4 2 + 1 3 3 + 4 3 + 1 3 4 + 4 4 + … + 1 3 10 + 4 10

Fazendo essa continha, isto é, somando esses decimais, obteremos aproximadamente:

∑ n = 1 10 1 3 n + 4 n ≈ 0,19788

Passo 2

Tudo bem, já temos o resultado da soma dos dez primeiros termos da série. Agora o que devemos fazer é utilizar o teste de comparação para ver se a série converge ou diverge. Uma série comparativa interessante para nós seria:

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 3 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 n

Que é uma série geométrica convergente, uma vez que r = 1 5 < 1 . A comparação nos dá:

1 3 n + 4 n < 1 2 . 1 3 n

Agora calculando o erro, teremos:

R 10 ≤ T 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 2 . 3 x d x

Vale ressaltar que essa integral sai do teste da integral, caso não esteja lembrado, beleza? Resolvendo a integral, teremos:

∫ 10 ∞ 1 2 . 3 x d x = l i m t → ∞ ∫ 10 t 1 2 . 3 x d x

lim t → ∞ ⁡ - 1 2 . 3 - x ln ⁡ 3 t 10 =   lim t → ∞ ⁡ - 1 2 . 3 - t ln ⁡ 3 + 1 2 . 3 - 10 ln ⁡ 3 = 1 2.3 10 ln ⁡ 3

1 2.3 10 ln ⁡ 3 < 7,7.10 - 6

Sendo assim, R 10 < 7,7.10 - 6 .

Resposta

∑ n = 1 10 1 3 n + 4 n ≈ ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 4 n ≈ 0,19788

R 10 < 7,7.10 - 6

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