Enunciado

Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível.

Passo 1

Bom galera, por trigonometria a gente sabe que o comprimento dessa diagonal L pode ser escrito em:

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

Sendo a altura, comprimento e largura da caixa.

E assim, o volume é:

V = x y z

Passo 2

Beleza, vamos isolar o z :

L 2 = x 2 + y 2 + z 2

→ z = L 2 - x 2 - y 2

Assim podemos escrever o volume como uma função de dois vetores:

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Então precisamos encontrar os pontos críticos com as derivadas parciais:

V x = 0

→ L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0

E:

V y = 0

→ L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Passo 3

Temos então um sisteminha:

L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Consequimos encontra com esse sistema que:

x = y = L 3

E temos também que:

z = L 2 - x 2 - y 2

Aplicando aqui dentro achamos que:

x = y = z = L 3

Então o volume é:

V = x y z

V = L 3 3 = L 3 3 3

Resposta

L 3 3 3

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