Enunciado

Determine a menor distância entre o ponto ( 2 ,   0 ,   - 3 ) e o plano x + y + z = 1 .

Passo 1

O problema fornece um ponto ( 2 ,   0 ,   - 3 ) e um plano x + y + z = 1 e devemos achar a menor distância entre o ponto e o plano. Para isso, temos que achar o ponto P = ( x ,   y ,   z ) do plano cuja distância até ( 2 ,   0 ,   - 3 ) seja a menor possível.

Como esse ponto pertence ao plano, deve satisfazer

z = 1 - x - y

Assim,

P = ( x ,   y , 1 - x - y )

A distância d entre o ponto P do plano e o ponto ( 2 ,   0 ,   - 3 ) é dada por

d 2 = x - 2 2 + y - 0 2 + 1 - x - y - - 3 2

Portanto,

d 2 = x - 2 2 + y 2 + 4 - x - y 2

Desenvolvendo a expressão:

d 2 = x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 16 - 8 x - 8 y + 2 x y + x 2 + y 2

Assim,

d 2 = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y - 12 x - 8 y + 20

Desta forma, queremos achar x e y que minimizam

f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y - 12 x - 8 y + 20

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos críticos de f . Tomando o gradiente:

∇ f x , y = ( 4 x + 2 y - 12 ,   4 y + 2 x - 8 )

Assim, fazendo ∇ f x , y = ( 0 ,   0 ) :

4 x + 2 y - 12 = 0 2 x + 4 y - 8 = 0

Da primeira equação, tiramos

y = 6 - 2 x

Substituindo na segunda:

2 x + 4 6 - 2 x = 8 ⇒ 2 x - 8 x = 8 - 24 ⇒ - 6 x = - 16 ⇒ x = 16 6 = 8 3

Assim,

y = 6 - 16 3 = 2 3

Desta forma, o único ponto crítico de f é

8 3 , 2 3

Passo 3

Pela natureza do problema, essa função deve ter um mínimo (menor distância entre um ponto e um plano). Sendo assim, esse único ponto crítico deve representar esse mínimo!

A distância será então

d 2 = 2 ⋅ 64 9 + 2 ⋅ 4 9 + 2 ⋅ 16 9 - 12 ⋅ 8 3 - 8 ⋅ 2 3 + 20

Logo,

d 2 = 128 + 8 + 32 9 - 96 + 16 3 + 20 = 168 9 - 112 3 + 20

Portanto,

d 2 = 168 - 336 + 180 9 = 12 9 = 4 3

Assim,

d = 2 3

Ou ainda,

d = 2 3 3

Resposta

d = 2 3 3

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