Enunciado

34. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região compreendida pelo eixo x , as retas x = 2 e x = - 2 e a parábola y = x 2 .

Passo 1

Desenhando essa parábola, vamos ver que essa área vai ficar dessa forma:

Como não foi falado nada da densidade, vamos considerar ela constante, sendo assim o centroide é igual ao centro de massa:

Pela simetria podemos observar que x - = 0

Para calcular o centro de massa em y , vamos usar as faixas de massa que tem o centro de massa em

x ~ , y ~ = x , x 2 2

O tamanho dessas faixas vão ser: x 2

Se multplicarmos o comprimento das faixas por um d x , vamos obter o elemento de área dessas faixas:

d A = x 2 d x

Multiiplicando pela densidade, temos o elemento infinitesimal de massa:

d m = δ ⋅ d A

d m = δ ⋅ x 2 d x

Passo 2

Agora de que temos y ~ e d m podemos calcular o momento em x , M x :

M x = ∫ y ~ d m

Podemos ver no gráfico que os gráficos se interceptam em x = - 1   e x = 1 , ou seja, esses são os limites de integração:

M x = ∫ - 2 2 x 2 2 ⋅ δ ⋅ x 2 d x

M x = δ 2 ∫ - 2 2 x 4 d x

M x = δ 2 x 5 5 - 2 2

M x = δ 2 2 5 5 - - 2 5 5

M x = δ 2 32 5 + 32 5

M x = 32 δ 5

Passo 3

Para conseguirmos calcular o centro de massa só nos resta saber

M = ∫ d m

M = ∫ - 2 2 δ ⋅ x 2 d x

M = δ ∫ - 2 2 x 2 d x

M = δ x 3 3 - 2 2

M = δ 2 3 3 - - 2 3 3

M = δ 8 3 + 8 3

M = 16 δ 3

Passo 4

Agora temos tudo o que precisamos para calcular o centro de massa em y :

y - = M x M

y - = 32 δ 5 16 δ 3

y - = 32 δ 5 ⋅ 3 16 δ

y - = 6 5

Resposta

( x - , y - ) = 0 , 6 5

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). h ) ρ 2 = 1 1 + sin 2 ⁡ θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). a )ρ = 2 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares d )ρ 2 = cos ⁡ θeρ 2 = sin ⁡ θ( ρ ≥ 0 )
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). c ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). b ) ρ 2 = cos ⁡ θ ( ρ ≥ 0 )